Question

А) В строчку написаны 10 единиц. Петя и Вася по очереди ставят между какими-нибудь соседними числами знаки «+» или «−» (если там ещё нет знака). Начинает Петя. Когда между всеми соседними числами расставлены знаки, вычисляют значение полученного выражения. Если оно чётное, выигрывает Вася, иначе — Петя. Может ли один из ребят играть так, чтобы всегда выигрывать (как бы ни играл другой), и, если может, то как ему следует играть? б) А если можно ставить «+» или знак умножения? (При вычислении выражения сначала выполняются умножения, потом — сложения.)

Answer 1

А) Если поставить все +, то получится 10 - четное число.
Но между 10 единицами всего 9 знаков. Значит, последний, 
9-ый знак ставит Петя, как и первый.
Значит, Вася может ставить какие угодно знаки, но в конце он должен посчитать сумму и поставить последний знак так, чтобы получилось нечетное число.
Тогда, какой бы знак ни поставил Петя, получится четное, и выиграет Вася.
б)Я понял! В этом случае выигрывает Петя. Потому что, поставив последний знак *, он не меняет четность, а поставив + меняет.
Значит, Петя всегда может поставить знак так, чтобы получилось нечетное число.

Answer 2

А) Петя и Вася могут играть так, чтобы всегда выигрывать. Для этого Пете нужно ставить знаки «+» между всеми соседними числами, а Васе нужно ставить знаки «−». Таким образом, при любой расстановке знаков полученное выражение будет четным, и всегда будет выигрывать Вася.

Б) Если разрешено ставить знак умножения, то один из ребят все равно сможет всегда выигрывать. Для этого Пете нужно ставить знаки «+» между всеми соседними числами, а Васе нужно ставить знаки «×». Таким образом, при любой расстановке знаков полученное выражение будет четным, и всегда будет выигрывать Вася.