Question

Найдите производную сложной функции f(х)=(2х+1) в степени 10

Answer 1

f'(x) = 10(2x+1)^9 * (2x+1)' = 10(2x+1)^9 * 2 = 20(2x+1)^9

Answer 2

Чтобы найти производную сложной функции f(x) = (2x + 1)^10, мы можем применить правило дифференцирования сложной функции, известное как правило цепочки (chain rule).

Применение правила цепочки

Правило цепочки гласит, что если у нас есть функция g(x), которая зависит от функции h(x), то производная сложной функции g(h(x)) выражается как произведение производной g(h(x)) по h(x) и производной h(x) по x.

В нашем случае, функция g(h(x)) = (2x + 1)^10, где g(u) = u^10 и h(x) = 2x + 1.

Нахождение производных

Давайте начнем с нахождения производной функции g(u) = u^10 по u.

Правило степенной функции гласит, что производная функции u^n, где n - константа, равна n * u^(n-1).

Применяя это правило, получаем:

d/du (u^10) = 10 * u^(10-1) = 10 * u^9.

Теперь найдем производную функции h(x) = 2x + 1 по x.

Правило линейной функции гласит, что производная функции ax + b равна a, где a и b - константы. В нашем случае, a = 2 и b = 1, поэтому:

d/dx (2x + 1) = 2.

Применение правила цепочки

Теперь мы можем применить правило цепочки, чтобы найти производную функции f(x) = (2x + 1)^10.

Производная f(x) по x равна произведению производной g(h(x)) по h(x) и производной h(x) по x:

d/dx (f(x)) = d/dx ((2x + 1)^10) = d/dh (g(h(x))) * d/dx (h(x)).

Подставляя значения производных, получаем:

d/dx (f(x)) = 10 * (2x + 1)^9 * 2.

Упрощая это выражение, получаем:

d/dx (f(x)) = 20 * (2x + 1)^9.

Ответ

Таким образом, производная сложной функции f(x) = (2x + 1)^10 равна 20 * (2x + 1)^9.