Question

Вычислите площадь фигуры y=-4x-x^2, y=0, x=-3 ,x=-1

Answer 1

Площадь равна интегралу от -3 до -1 от функции у=-4х-х²
S=-2x²-x³/3|-1-(-3)=-2+1/3+18-9=7 1/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными уравнениями, мы можем воспользоваться методом интегрирования. Для начала, найдем точки пересечения кривых, чтобы определить пределы интегрирования.

Нахождение точек пересечения кривых:

1. Поиск точек пересечения кривой y = -4x - x^2 и оси OX (y = 0): Уравнение кривой y = -4x - x^2 устанавливает, что y будет равен 0, когда -4x - x^2 = 0. Мы можем решить это уравнение, чтобы найти x-координаты точек пересечения.

-4x - x^2 = 0 x^2 + 4x = 0 x(x + 4) = 0

Отсюда получаем x = 0 и x = -4.

2. Поиск точек пересечения вертикальной линии x = -3 и x = -1 с кривой: Так как эти линии пересекают ось OX под прямым углом, то точки пересечения будут иметь соответствующие значения x.

Таким образом, точки пересечения с вертикальными линиями x = -3 и x = -1 будут иметь координаты (-3, 0) и (-1, 0) соответственно.

Вычисление площади:

Теперь, когда мы знаем точки пересечения, мы можем выразить площадь фигуры в виде интеграла от x1 до x2 функции y(x) по оси OX.

Площадь фигуры S будет равна интегралу от y(x) по x от x1 до x2:

S = ∫[x1, x2] y(x) dx

Используя найденные точки пересечения, мы можем разделить этот интеграл на несколько частей и вычислить их отдельно, затем сложить результаты.

Расчет площади:

1. Интеграл от x = -4 до x = 0 для кривой y = -4x - x^2: S1 = ∫[-4, 0] (-4x - x^2) dx S1 = [-2x^2 - (x^3)/3]∣[-4, 0] S1 = [-(0) - (0)] - [(-32 - (-64/3))] S1 = 32 + 64/3 S1 = 96/3 + 64/3 S1 = 160/3

2. Площадь между x = -3 и x = -1: S2 = Площадь прямоугольника с высотой 0 и шириной (|-1 - (-3)|) S2 = 2 * |(-1) - (-3)| S2 = 2 * |2| S2 = 4

Таким образом, общая площадь фигуры, заключенной между кривыми y = -4x - x^2, осью OX, и вертикальными линиями x = -3, x = -1, будет равна:

S = S1 + S2 = 160/3 + 4 = 172/3

Итак, площадь этой фигуры равна 172/3 или примерно 57.333.