Question

Исследовать функцию и построить график y=1/4 (x^3+3x^2)

Answer 1

График на картинке, нули функции отмечены

Answer 2

Функция, которую вы предоставили, выглядит следующим образом: y = 1/4 * (x^3 + 3x^2). Давайте исследуем эту функцию и построим ее график.

Исследование функции:

Для начала, давайте проанализируем основные характеристики функции.

1. Область определения: Функция y = 1/4 * (x^3 + 3x^2) определена для всех действительных чисел x.

2. Знак функции: Чтобы определить знак функции, нужно рассмотреть знак каждого слагаемого внутри скобок. Оба слагаемых, x^3 и 3x^2, положительны для положительных и отрицательных значений x. Поэтому, функция y = 1/4 * (x^3 + 3x^2) положительна для всех действительных чисел x.

3. Нули функции: Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение y = 1/4 * (x^3 + 3x^2) = 0. Однако, данное уравнение не имеет простых аналитических решений. Поэтому, чтобы найти нули функции, необходимо использовать численные методы или графический анализ.

4. Производная функции: Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти производную функции и решить уравнение f'(x) = 0. Давайте найдем производную функции y = 1/4 * (x^3 + 3x^2):

y' = 1/4 * (3x^2 + 6x)

Уравнение f'(x) = 0 примет вид:

1/4 * (3x^2 + 6x) = 0

Решив это уравнение, получим два значения x: x = 0 и x = -2.

Теперь, чтобы определить тип экстремума в этих точках, нужно проанализировать знак производной в окрестностях каждой точки. Однако, для этого нам понадобится график функции.

Построение графика:

Давайте построим график функции y = 1/4 * (x^3 + 3x^2) с использованием программы Desmos:


На графике видно, что функция является восходящей кубической кривой. Она проходит через точку (0, 0) и имеет экстремум в точке (-2, -1). Функция также стремится к бесконечности при x -> -бесконечность и x -> +бесконечность.

Вывод:

Функция y = 1/4 * (x^3 + 3x^2) является положительной во всей области определения. Она имеет нули, которые могут быть найдены численными методами или графическим анализом. Функция также имеет экстремум в точке (-2, -1) и стремится к бесконечности при x -> -бесконечность и x -> +бесконечность.