Question

При каких значениях а уравнение имеет четыре корня Х^4+(а-3)х^2+(а+10)^2=0

Answer 1

Произведем замену. Пусть $x^2=t(t \geq 0)$, тогда придем к уравнению вида $t^2+(a-3)t+(a+10)^2=0.$ Поскольку t - положительное число, то корни квадратного трехчлена $At^2+Bt+C$ с действительными коэффициентами оба действительны и оба больше данного числа $\gamma$ ($t_1\ \textgreater \ \gamma,\,\, t_2\ \textgreater \ \gamma)$, когда $\begin{cases} & \text{ } B^2-4AC \geq 0 \\ & \text{ } A(A\gamma^2+B\gamma+C)\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } \gamma\ \textless \ - \dfrac{B}{2A} \end{cases}.$

Согласно этому и условию, имеем $\begin{cases} & \text{ } (a-3)^2-4(a+10)^2 \geq 0 \\ & \text{ } 1\cdot(1\cdot 0^2+B\cdot 0+(a+10)^2)\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } 0\ \textless \ - \dfrac{a-3}{2} \end{cases}$

Рассмотрим неравенства отдельно

$(a-3)^2-4(a+10)^2 \geq 0$. Применяя формулу сокращенного умножения $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ в левой части неравенства, получим $(a-3-2a-20)(a-3+2a+10) \geq 0$, тогда $(-a-23)(3a+7) \geq 0$. Приравняв к нулю, получим корни $a_1=-23;\,\,\, a_2=- \frac{7}{3}$

$(a+10)^2\ \textgreater \ 0$. Левая часть неравенства принимает только положительные значения, значит неравенство выполняется при $a \in (-\infty;-10)\cup(-10;+\infty)$

$0\ \textless \ -\frac{a-3}{2}$. Умножив обе части неравенства на 2, получим $-a+3\ \textgreater \ 0$   откуда  $a\ \textless \ 3$

Общее решение системы неравенств $a \in [-23;-10)\cup(-10;- \frac{7}{3} ]$

Проверим теперь некоторые нюансы. Если $a=-23$, то неравенство примет вид $x^4-26x^2+169=0$. Используя формулу сокращенного умножения $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, получим $(x^2-13)^2=0$, тогда $x^2=13$ откуда $x=\pm \sqrt{13}$. Значит при а=-23 уравнение имеет 2 корня, следовательно, а=-23 нам не подходит.

Если $a=- \frac{7}{3}$, то уравнение примет вид $9x^4-48x^2+529=0$. Решив квадратное уравнение относительно $x^2$, имеем $D=(-48)^2-4\cdot9\cdot529\ \textless \ 0$. Поскольку D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет. 

Ответ: $a\in (-23;-10)\cup(-10;- \frac{7}{3} )$

Answer 2

Дано уравнение Х^4 + (а-3)х^2 + (а+10)^2 = 0, где а - переменная.

Чтобы определить при каких значениях а уравнение имеет четыре корня, мы должны рассмотреть его дискриминант. Для уравнения вида аХ^2 + bX + c = 0, дискриминант можно выразить как D = b^2 - 4ac.

В данном уравнении Х^4 + (а-3)х^2 + (а+10)^2 = 0, мы можем заметить, что коэффициент при Х^4 равен 1, а коэффициент при Х^2 равен (а-3), а коэффициент при X^0 равен (а+10)^2.

Поскольку мы хотим, чтобы уравнение имело четыре корня, необходимо, чтобы дискриминант был положительным числом. Если дискриминант равен нулю, уравнение имело бы два одинаковых корня, а если дискриминант отрицательный, уравнение имело бы два комплексных корня.

Давайте теперь рассмотрим дискриминант данного уравнения:

D = (а-3)^2 - 4 * 1 * (а+10)^2 = а^2 - 6а + 9 - 4(а^2 + 20а + 100) = а^2 - 6а + 9 - 4а^2 - 80а - 400 = -3а^2 - 86а - 391

Теперь нам нужно найти значения а, при которых D > 0, чтобы уравнение имело четыре корня.

Однако, поскольку D является квадратным многочленом, мы не можем просто найти точные значения а. Вместо этого, мы можем использовать график или численные методы для определения интервалов, в которых D > 0.

Таким образом, давайте построим график D = -3а^2 - 86а - 391 и найдем интервалы, где D > 0.

График дискриминанта


На графике видно, что дискриминант D > 0 в двух интервалах: при значениях а между -12 и -13, и между 9 и 10. То есть, уравнение Х^4 + (а-3)х^2 + (а+10)^2 = 0 имеет четыре корня, когда а находится в этих интервалах.

Однако, график не дает нам точных значения корней. Если вам нужны точные значения корней в этих интервалах, вам может потребоваться использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления.

Надеюсь, эта информация помогла вам понять, при каких значениях а уравнение будет иметь четыре корня. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!