Question

Помогите решить уравнение: sin3x=sin2x+sinx

Answer 1

$\sin3x=\sin2x+\sin x\\3\sin x-4\sin^3x=2\sin x\cos x+\sin x\\\sin x(3-4\sin^2x)=\sin x(2\cos x+1)\\\sin x=0\Rightarrow x=\pi n,\;\;n\in\mathbb{Z}\\\sin x\neq0\Rightarrow3-4\sin^2x=2\cos x+1\\3-4+4\cos^2x=2\cos x+1\\4\cos^2x-2\cos x-2=0\;\div2\\2\cos^2x-\cos x-1=0\\\cos x=t,\;\cos^2x=t^2,\;t\in[-1;1]\\2t^2-t-1=0\\D=1-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9=3^2\\t_1=\frac{1-3}4=-\frac12\\t_2=\frac{1+3}4=1\\\cos x=-\frac12\Rightarrow x=\frac{2\pi}3+2\pi n,\;\;n\in\mathbb{Z}\\\cos x=1\Rightarrow x=2\pi n,\;\;n\in\mathbb{Z}$
$OTBET:\;\pi n;\;\frac{2\pi}3+2\pi n;\;2\pi n,\;\;n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения уравнения sin3x = sin2x + sinx воспользуемся формулой сложения для синуса: sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB.

Таким образом, мы можем переписать уравнение в виде: sin3x = sinx * cos2x + cosx * sin2x.

Затем воспользуемся формулой двойного угла для синуса: sin2x = 2 * sinx * cosx.

Подставим это значение в уравнение: sin3x = sinx * (2 * cosx * cosx) + cosx * (2 * sinx * cosx).

Упростим уравнение: sin3x = 2sinx * cos^2x + 2sinx * cos^2x.

Теперь объединим подобные члены: sin3x = 4sinx * cos^2x.

Теперь мы можем использовать формулу двойного угла для косинуса: cos^2x = (1 + cos2x) / 2.

Подставим это значение обратно в уравнение: sin3x = 4sinx * (1 + cos2x) / 2.

Упростим уравнение: sin3x = 2sinx + 2sinx * cos2x.

Теперь мы можем использовать формулу двойного угла для синуса: sin2x = 2 * sinx * cosx.

Подставим это значение в уравнение: sin3x = 2sinx + 4sinx * cosx.

Теперь мы можем использовать формулу двойного угла для косинуса: cosx = 1 - 2sin^2x.

Подставим это значение обратно в уравнение: sin3x = 2sinx + 4sinx * (1 - 2sin^2x).

Упростим уравнение: sin3x = 2sinx + 4sinx - 8sin^3x.

Теперь приведем все члены уравнения в одну сторону: 8sin^3x - 6sinx = 0.

Теперь мы можем вынести sinx за скобку: 2sinx(4sin^2x - 3) = 0.

Таким образом, получаем два уравнения: 2sinx = 0 и 4sin^2x - 3 = 0.

Решим первое уравнение: sinx = 0. Решениями будут x = 0, π.

Решим второе уравнение: 4sin^2x - 3 = 0. Получаем sinx = ±√(3/4). Решениями будут x = π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3.

Итак, решениями уравнения sin3x = sin2x + sinx будут x = 0, π, π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3.