Question

Решить интеграл sqr(x^2-25)/x^4

Answer 1

$\int\limits { \frac{ x^{2} -25}{ x^{4} } } \, dx = \int\limits{x^{-2}} \, dx - 25\int\limits{x^{-4}} \, dx$=$\frac{x^{-1}}{-1} -25* \frac{x^{-3}}{-3} +C=- \frac{1}{x} +\frac{25}{3x^3} +C$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться методом частичных дробей. Давайте приступим к решению.

Разложение на простейшие дроби

Начнем с разложения выражения под интегралом на простейшие дроби. Имеем:

(x^2 - 25) / x^4

Для начала, давайте разложим числитель (x^2 - 25) в каноническую форму:

(x^2 - 25) = (x + 5)(x - 5)

Теперь разложим выражение на простейшие дроби:

(x^2 - 25) / x^4 = (A / x^2) + (B / x^3) + (C / x) + (D / x^4)

где A, B, C и D - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти.

Нахождение неизвестных коэффициентов

Чтобы найти значения A, B, C и D, мы можем привести разложение на общий знаменатель и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x.

(x^2 - 25) = A * x^2 + B * x + C * x^3 + D * x^4

Раскроем скобки и упорядочим выражение:

x^2 - 25 = (D * x^4) + (C * x^3) + (A * x^2) + (B * x)

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

x^4: D = 0

x^3: C = 0

x^2: A = 1

x: B = 0

Запись разложения на простейшие дроби

Используя найденные значения коэффициентов, записываем разложение на простейшие дроби:

(x^2 - 25) / x^4 = (1 / x^2) + (0 / x^3) + (0 / x) + (0 / x^4)

Теперь мы можем проинтегрировать каждую дробь по отдельности.

Интегрирование

Интегрируем каждую дробь по отдельности:

∫ (1 / x^2) dx = -1 / x

∫ (0 / x^3) dx = 0

∫ (0 / x) dx = 0

∫ (0 / x^4) dx = 0

Теперь мы можем записать окончательный ответ:

∫ (x^2 - 25) / x^4 dx = -1 / x

Ответ

Решение данного интеграла:

∫ (x^2 - 25) / x^4 dx = -1 / x + C

где C - постоянная интегрирования.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.