Question

Навмання вибрано два додатних числа, кожне з яких не перевищує 6. Знайти ймовірність того, що сума їх буде не більша 5, а добуток не менше 3

Answer 1

Пусть х и у - заданные числа. Используем геометрическую вероятность. Так как х и у положительные числа и берутся из отрезка (0;6), можно, считать что точка выбирается в координатами (x,y) из квадрата на плоскости: $(0;6)\times (0;6)$

Должны выполняться условия:

$1)~x+y \leq 5\\ 2)~ xy \geq 3$

Искомая вероятность - это отношение площади фигуры, определяемой этими ограничениями к площади квадрата, то есть, к 6*6=36.

Найдем точки пересечения двух графиков(а именно ограниченные линии)
$\displaystyle \left \{ {{x+y=5} \atop {xy=3}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{x_{1,2}= \frac{5\pm \sqrt{13} }{2} } \atop {y_{1,2}=\frac{5\mp \sqrt{13} }{2}}} \right.$

Площадь фигуры, ограниченной линиями:  

$\displaystyle S= \int\limits^{\frac{5+\sqrt{13} }{2}}_{\frac{5- \sqrt{13} }{2}} {\bigg(5-x- \frac{3}{x} \bigg)} \, dx=\bigg(5x- \frac{x^2}{2}-3\ln |x|\bigg)\bigg|^{\frac{5+\sqrt{13} }{2}}_{\frac{5- \sqrt{13} }{2}} \approx3.554$

Искомая вероятность: $P= \dfrac{3.554}{36} \approx0.1$

Answer 2

Щоб знайти ймовірність того, що сума двох додатних чисел, кожне з яких не перевищує 6, буде не більша 5, а добуток не менше 3, спочатку знайдемо всі можливі комбінації таких чисел.

Можливі комбінації: 1. (1, 1) 2. (1, 2) 3. (1, 3) 4. (1, 4) 5. (1, 5) 6. (1, 6) 7. (2, 1) 8. (2, 2) 9. (2, 3) 10. (2, 4) 11. (2, 5) 12. (2, 6) 13. (3, 1) 14. (3, 2) 15. (3, 3) 16. (3, 4) 17. (3, 5) 18. (3, 6) 19. (4, 1) 20. (4, 2) 21. (4, 3) 22. (4, 4) 23. (4, 5) 24. (4, 6) 25. (5, 1) 26. (5, 2) 27. (5, 3) 28. (5, 4) 29. (5, 5) 30. (5, 6) 31. (6, 1) 32. (6, 2) 33. (6, 3) 34. (6, 4) 35. (6, 5) 36. (6, 6)

Тепер знайдемо комбінації, для яких сума не більша 5 і добуток не менше 3: 1. (1, 1) - сума = 2, добуток = 1 (не підходить) 2. (1, 2) - сума = 3, добуток = 2 (не підходить) 3. (2, 1) - сума = 3, добуток = 2 (не підходить) 4. (1, 3) - сума = 4, добуток = 3 (підходить) 5. (3, 1) - сума = 4, добуток = 3 (підходить)

Таким чином, є 2 комбінації, для яких сума буде не більша 5, а добуток не менше 3. Загальна кількість комбінацій - 36.

Ймовірність того, що сума буде не більша 5, а добуток не менше 3, дорівнює 2/36 = 1/18.