Question

Докажите что для любого натурального значения n справедливо утверждение (n3 +3n2+8n) делится на 3

Answer 1

$= n^{3} +3 n^{2} +6n+2n= \\ =n^{3} +2n +3n(n+2)$
Все выражение делится на 3 при условии, если каждое из слагаемых делится на 3. Второе 3n(n+2) кратно 3, т.к. один из множителей является 3.
Осталось док-ть, что первое слагаемое кратно 3.
Рассмотрим $n^{3}+2n$
Число n может давать при делении на 3 один из трех остатков: 0, 1, 2. Рассмотрим три случая.Если n дает остаток 0, то и n³ и 2n делятся на 3 и поэтому n³ + 2n также делится на 3.Если n дает остаток 1, то n³ дает остаток 1, 2n – остаток 2, а 1 + 2 делится на 3.Если n дает остаток 2, то n² дает остаток 1, n³ – остаток 2, 2n – остаток 1, а 2 + 1 делится на 3.Требуемое доказано.