Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями 1) у=2х-х^2 у=02)х^3+1 x=0 x=23)y=x^2+4x=2x=-2y=04)y=x^3x=1x=-1y=0

Answer 1

1)
$y=2x-x^2 \\ y=0 \\ \\ 2x-x^2=0 \\ x(2-x)=0 \\ x=0 \\ x=2 \\ \\ \int\limits^{2}_{0} {(2x-x^2)} \, dx = \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3} |^{2}_{0}= \\ \\ =(\frac{2*2^2}{2} - \frac{2^3}{3})-(\frac{2*0^2}{2} - \frac{0^3}{3})= \\ \\ =4 - \frac{8}{3}= \frac{4*3-8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} =1,33333$


2)
$y=x^3+1 \\ x=0 \\ x=2 \\ \\ \int\limits^{2}_{0} {(1+x^3)} \, dx =x+ \frac{x^4}{4} |^{2}_{0}=(2+ \frac{2^4}{4})-(0+ \frac{0^4}{4})=2+ \frac{16}{4}=2+4=6$


3)
$y=x^2+4 \\ x=2 \\ x=-2 \\ y=0 \\ \\ \int\limits^{2}_{-2} {(4+x^2)} \, dx =4x+ \frac{x^3}{3} |^{2}_{-2}=(4*2+ \frac{2^3}{3})-(4*(-2)+ \frac{(-2)^3}{3})= \\ \\ =(8+ \frac{8}{3})-(-8+ \frac{-8}{3})=(\frac{3*8+8}{3})-(\frac{3*(-8)+(-8)}{3})= \\ \\ =(\frac{24+8}{3})-(\frac{(-24)+(-8)}{3})=\frac{32}{3}+\frac{32}{3}= \frac{64}{3} =21,3333$


4)
$y=x^3 \\ x=1 \\ x=-1 \\ y=0 \\ \\ \int\limits^{1}_{-1} {|x^3|} \, dx = \frac{x^4}{4} |^{1}_{-1}=(\frac{1^4}{4})+(\frac{(-1)^4}{4})= \\ \\ =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}= \frac{1}{2}$