Question

Найдите наибольшее значение функции y=x³+2x²+x+3 на отрезке [−3;−0,5].

Answer 1

$y=x^3+2x^2+x+3$

1.  Найдём производную функции:

$y'=3x^2+4x+1$

2.  Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума функции.

$3x^2+4x+1=0 \\ D=16-4*3=16-12=4 \\ \\ x_1= \frac{-4+2}{6} = \frac{-2}{6} =- \frac{1}{3} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_2= \frac{-4-2}{6} = \frac{-6}{6} =-1$

3.  Смотрим, какой у нас промежуток  $[-3;-0,5]$,   входят ли в него найденные точки.   Таким образом точка $x=- \frac{1}{3}$  лежит правее точки $x=-0,5$, поэтому её не рассматриваем.

4.  Подставляем точки   $-3,~-1;~-0,5$   вместо X в самое первое начальное уравнение и смотрим какие значения принимают Y, выделяем наибольшее и наименьшее.

$y(-3)=(-3)^3+2\cdot (-3)^2-3+3=-27+18=-9 \\ y(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)^2-1+3=-1+2+2=3 \\ y(-0,5)=(-0,5)^3+2\cdot(-0,5)^2-0,5+3=-0,125+0,5+2,5= \\ =2,875$

Ответ:  $y$ наим. $=-9$,    $y$ наиб. $=3$

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = x³ + 2x² + x + 3 на отрезке [-3; -0,5] нужно сначала найти экстремумы функции на этом отрезке.

Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y' = 3x² + 4x + 1

3x² + 4x + 1 = 0

Здесь можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b² - 4ac D = (4)² - 4(3)(1) D = 16 - 12 D = 4

Так как D > 0, у нас есть два корня: x₁ = (-b + √D) / (2a) x₂ = (-b - √D) / (2a)

x₁ = (-4 + 2) / (6) x₁ = -2 / 6 x₁ = -1/3

x₂ = (-4 - 2) / (6) x₂ = -6 / 6 x₂ = -1

Таким образом, функция имеет два экстремума на отрезке [-3; -0,5]: x₁ = -1/3 и x₂ = -1.

Далее нужно найти значение функции в точках -3, -1/3 и -0,5 и выбрать наибольшее из них.

y(-3) = (-3)³ + 2(-3)² + (-3) + 3 y(-3) = -27 + 18 - 3 + 3 y(-3) = -9

y(-1/3) = (-1/3)³ + 2(-1/3)² + (-1/3) + 3 y(-1/3) = -1/27 + 2/9 - 1/3 + 3 y(-1/3) = -1/27 + 6/27 - 9/27 + 81/27 y(-1/3) = 77/27 ≈ 2.85

y(-0,5) = (-0,5)³ + 2(-0,5)² + (-0,5) + 3 y(-0,5) = -0,125 + 0,5 - 0,5 + 3 y(-0,5) = 3.375

Итак, наибольшее значение функции y = x³ + 2x² + x + 3 на отрезке [-3; -0,5] равно 3.375, и оно достигается при x = -0,5.