Question

Решите методом интервала (X²-16)(9+X²)>0

Answer 1

........................

Answer 2

Для решения неравенства \((X^2 - 16)(9 + X^2) > 0\), мы можем использовать метод интервалов. Для начала, найдем корни уравнения \( (X^2 - 16)(9 + X^2) = 0 \). Эти точки делят вещественную прямую на интервалы, на которых неравенство может иметь различные значения.

1. Найдем корни уравнения \( (X^2 - 16)(9 + X^2) = 0 \): \[ (X^2 - 16)(9 + X^2) = 0 \] Решим каждый множитель равенства отдельно: \[ X^2 - 16 = 0 \quad \text{и} \quad 9 + X^2 = 0 \]

Для \(X^2 - 16 = 0\) получаем два корня: \[ X = -4 \quad \text{и} \quad X = 4 \]

Для \(9 + X^2 = 0\) получаем два мнимых корня, которые нас здесь не интересуют.

2. Теперь рассмотрим интервалы, образованные корнями:

Интервал I: \((- \infty, -4)\) Интервал II: \((-4, 4)\) Интервал III: \((4, +\infty)\)

3. Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения \((X^2 - 16)(9 + X^2)\) на каждом интервале.

- Для интервала I (возьмем точку \(X = -5\)): \[ ((-5)^2 - 16)(9 + (-5)^2) = (25 - 16)(9 + 25) = (9)(34) > 0 \]

- Для интервала II (возьмем точку \(X = 0\)): \[ ((0)^2 - 16)(9 + (0)^2) = (-16)(9) < 0 \]

- Для интервала III (возьмем точку \(X = 5\)): \[ ((5)^2 - 16)(9 + (5)^2) = (9)(34) > 0 \]

4. Итак, мы определили знак выражения на каждом интервале:

- На интервале I: \( > 0\) - На интервале II: \( < 0\) - На интервале III: \( > 0\)

5. Теперь объединим интервалы, где выражение положительно:

\((-\infty, -4) \cup (4, +\infty)\)

Таким образом, решением неравенства \((X^2 - 16)(9 + X^2) > 0\) является объединение интервалов \((- \infty, -4)\) и \((4, +\infty)\).