Question

Нужно привести примеры недеференцируемости; a) непрерывной функции б) обладающей непрерывними частными производными в)непрерывной и обладающей частными производными

Answer 1

1. Частные производные первого порядка. Пусть функция  определена в области  и . Тогда при малых  определено ее частное приращение по : .

         Определение. Частной производной функции  по переменной   в точке  называют предел

,

если он существует.

         Частную производную по  обозначают одним из следующих символов:

.

Аналогично определяется частная производная по  и вводятся ее обозначения.

         Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

         Пример. Найти частные производные функции .

 Имеем:

,    . ^

         2. Частные производные высших порядков. Рассматривая частные производные  и  как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения

,     

называют частными производными второго порядка функции  по  и по  соответственно, а выражения

,     

– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , ,  и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т.д.

         Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки функция  имеет смешанные частные производные  и , причем эти производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке:

=.

         Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции  не зависят от порядка дифференцирования в точке .

Answer 2

Давайте разберемся с каждым случаем:

а) Недеференцируемость непрерывной функции:

Пример: Рассмотрим функцию Хевисайда (функция единичного скачка):

\[ H(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 0 \\ 1, & \text{если } x \geq 0 \end{cases} \]

Эта функция представляет собой "ступеньку", которая равна 0 при \(x < 0\) и 1 при \(x \geq 0\). Графически, это выглядит как ступенчатая функция. В точке \(x = 0\) она непрерывна, но не имеет производной в этой точке, так как у нее нет касательной в этой точке.

б) Функция с непрерывными частными производными:

Пример: Пусть у нас есть функция

\[ f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & \text{если } (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & \text{если } (x, y) = (0, 0) \end{cases} \]

Эта функция является непрерывной на всей плоскости, и ее частные производные существуют в каждой точке. Однако, если мы рассмотрим пределы частных производных по отношению к \(x\) и \(y\) в точке \((0, 0)\), мы увидим, что они не являются непрерывными в этой точке. Таким образом, функция обладает частными производными везде, но эти производные не являются непрерывными в точке \((0, 0)\).

в) Функция с непрерывной и обладающей частными производными:

Пример: Рассмотрим функцию Гаусса:

\[ f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)} \]

Эта функция непрерывна на всей плоскости и обладает частными производными по \(x\) и \(y\) в каждой точке. Более того, частные производные также непрерывны на всей плоскости. Таким образом, эта функция удовлетворяет всем условиям: она непрерывна и обладает непрерывными частными производными.