Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 - x^2 y = x + 2Огромная просьба распишите всё по полочкам, чтобы понятно было мне!

Answer 1

$\int\limits^1_{-2} {(-x^2-x+2)} \, dx =- \frac{x^3}{3}- \frac{x^2}{2}+2x/^1_{-2}= \\ \\ =- \frac{1}{3}- \frac{1}{2}+2-( \frac{8}{3}-2-4)= \\ \\ =8-3.5=4.5$

Answer 2

Конечно, давайте решим эту задачу шаг за шагом. По вашему описанию, нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми: \(y = 4 - x^2\) и \(y = x + 2\).

Для начала, найдем точки пересечения этих двух кривых, так как они будут границами нашей области. Пересечение происходит, когда \(y\) по обе стороны уравнений равны друг другу:

\[4 - x^2 = x + 2\]

Теперь решим это уравнение:

\[x^2 + x - 6 = 0\]

Далее разложим на множители:

\[(x + 3)(x - 2) = 0\]

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: \(x = -3\) и \(x = 2\). Теперь найдем соответствующие значения \(y\), подставив их в любое из уравнений. Давайте используем \(y = x + 2\):

Для \(x = -3\): \(y = -3 + 2 = -1\)

Для \(x = 2\): \(y = 2 + 2 = 4\)

Таким образом, у нас есть три точки, ограничивающие нашу фигуру: \((-3, -1)\), \((2, 4)\) и вершина параболы \((0, 4)\).

Теперь нарисуем график обеих функций, чтобы визуализировать область:

\[y = 4 - x^2\]

\[y = x + 2\]

Область находится между этими двумя кривыми в указанных выше точках.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры между этими двумя кривыми, нужно взять интеграл от верхней кривой до нижней по переменной \(x\). Формула для этой площади будет следующей:

\[A = \int_{-3}^{2} (4 - x^2 - (x + 2)) \,dx\]

Теперь произведем интегрирование:

\[A = \int_{-3}^{2} (2 - x - x^2) \,dx\]

\[A = \left[\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x\right]_{-3}^{2}\]

\[A = \left(\frac{2}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 - \frac{1}{3}(2)\right) - \left(\frac{2}{3}(-3)^3 - \frac{1}{2}(-3)^2 - \frac{1}{3}(-3)\right)\]

\[A = \frac{8}{3} - 2 - \frac{2}{3} - \left(-\frac{54}{3} - \frac{9}{2} + 1\right)\]

\[A = \frac{64}{3}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = 4 - x^2\) и \(y = x + 2\), равна \(\frac{64}{3}\) квадратных единиц.