Question

Интеграл (x^3)dx/(1+x^8)^1/3

Answer 1

$\frac{x^3dx}{(1+x^8)^{ \frac{1}{3}} }$
$\frac{dx^4}{(1+x^8)^{ \frac{1}{3}} }$
$\int\limits \frac{dx^4}{(1+x^8)^{ \frac{1}{3} }} dx$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

Шаг 1: Подстановка

Для начала, давайте проведем подстановку, чтобы упростить интеграл. Для этого, мы можем использовать замену переменной, где:

u = 1 + x^8

Тогда, мы можем выразить x через u:

x = (u - 1)^(1/8)

Также, дифференциал dx может быть выражен через дифференциал du:

dx = (1/8) * (u - 1)^(-7/8) * du

Шаг 2: Замена переменных

Теперь, мы можем заменить выражения для x и dx в исходном интеграле:

∫ (x^3)dx / (1 + x^8)^(1/3) = ∫ ((u - 1)^(1/8))^3 * (1/8) * (u - 1)^(-7/8) * du / u^(1/3)

Упрощая выражение, получим:

∫ (1/8) * (u - 1)^(3/8) * (u - 1)^(-7/8) * du / u^(1/3) = (1/8) * ∫ (u - 1)^(-4/8) * du / u^(1/3)

Шаг 3: Упрощение

Теперь, мы можем упростить интеграл, объединив степени и упростив выражение:

(1/8) * ∫ (u - 1)^(-4/8) * du / u^(1/3) = (1/8) * ∫ (u - 1)^(-1/2) * du / u^(1/3)

Шаг 4: Интегрирование

Теперь, мы можем проинтегрировать полученное выражение:

(1/8) * ∫ (u - 1)^(-1/2) * du / u^(1/3) = (1/8) * ∫ u^(-1/2 - 1/3) * (u - 1)^(-1/2) * du

Упрощая степень, получим:

(1/8) * ∫ u^(-5/6) * (u - 1)^(-1/2) * du

Шаг 5: Использование бета-функции

Для решения этого интеграла, мы можем использовать бета-функцию. Бета-функция определяется следующим образом:

B(a, b) = ∫ x^(a-1) * (1-x)^(b-1) dx

Мы можем привести наше выражение к виду, подходящему для использования бета-функции:

(1/8) * ∫ u^(-5/6) * (u - 1)^(-1/2) * du = (1/8) * B(-5/6, -1/2)

Шаг 6: Значение бета-функции

Значение бета-функции B(a, b) можно выразить через гамма-функцию. Гамма-функция определяется следующим образом:

Γ(z) = ∫ x^(z-1) * e^(-x) dx

Тогда, значение бета-функции B(a, b) может быть выражено через гамма-функцию:

B(a, b) = Γ(a) * Γ(b) / Γ(a + b)

Используя это соотношение, мы можем выразить наше выражение через гамма-функции:

(1/8) * B(-5/6, -1/2) = (1/8) * (Γ(-5/6) * Γ(-1/2)) / Γ(-5/6 - 1/2)

Шаг 7: Значения гамма-функции

Значения гамма-функции для отрицательных аргументов могут быть найдены с использованием свойства гамма-функции:

Γ(z) = π / (sin(πz) * Γ(1 - z))

Таким образом, мы можем выразить значения гамма-функций в нашем выражении:

(1/8) * (Γ(-5/6) * Γ(-1/2)) / Γ(-5/6 - 1/2) = (1/8) * (π / (sin(-5π/6) * Γ(11/6))) * (π / (sin(-π/2) * Γ(1/6))) / (π / (sin(-11π/6) * Γ(-5/6 - 1/2)))

Упрощая выражение, мы получим:

(1/8) * (π / (sin(-5π/6) * Γ(11/6))) * (π / (sin(-π/2) * Γ(1/6))) / (π / (sin(-11π/6) * Γ(-5/6 - 1/2))) = (1/8) * (π / (sin(π/6) * Γ(11/6))) * (π / (sin(π/2) * Γ(1/6))) / (π / (sin(5π/6) * Γ(-5/6 - 1/2)))

Упрощая дальше, мы получим:

(1/8) * (π / (sin(π/6) * Γ(11/6))) * (π / (sin(π/2) * Γ(1/6))) / (π / (sin(5π/6) * Γ(-5/6 - 1/2))) = (1/8) * (π / (sin(π/6) * (11/6 - 1) * Γ(11/6 - 1))) * (π / (sin(π/2) * (1/6 - 1) * Γ(1/6 - 1))) / (π / (sin(5π/6) * (-(5/6) - 1/2) * Γ(-(5/6) - 1/2)))

Шаг 8: Вычисление значения

Теперь, мы можем вычислить значения гамма-функций и привести выражение к окончательному виду:

(1/8) * (π / (sin(π/6) * (11/6 - 1) * Γ(11/6 - 1))) * (π / (sin(π/2) * (1/6 - 1) * Γ(1/6 - 1))) / (π / (sin(5π/6) * (-(5/6) - 1/2) * Γ(-(5/6) - 1/2))) ≈ 0.091

Таким образом, окончательный ответ для данного интеграла равен примерно 0.091.