Question

Найти общее решение уравнений y'-y*cosX=(√X)*e^sinX

Answer 1

$y'-y*cosx=\sqrt{x}*e^{sinx}\\y=uv;y'=u'v+v'u\\u'v+v'u-uvcosx=\sqrt{x}*e^{sinx}\\u'v+u(v'-vcosx)=\sqrt{x}*e^{sinx}\\\begin{cases}v'-vcosx=0\\u'v=\sqrt{x}*e^{sinx} \end{cases}\\\frac{dv}{dx}-vcosx=0|*\frac{dx}{v}\\\frac{dv}{v}-cosxdx=0\\\frac{dv}{v}=cosxdx\\\int\frac{dv}{v}=\int cosxdx\\ln|v|=sinx\\v=e^{sinx}\\\frac{du}{dx}e^{sinx}=\sqrt{x}*e^{sinx}\\\frac{du}{dx}=\sqrt{x}|*dx\\du=\sqrt{x}dx\\\int du=\int \sqrt{x}dx\\u=\frac{2\sqrt{x^3}}{3}+C\\y=(\frac{2\sqrt{x^3}}{3}+C)*e^{sinx}$

Answer 2

Для того чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод вариации постоянной. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения. Однородное уравнение получается путем установления правой части равной нулю. Таким образом, наше однородное уравнение будет иметь вид: y' - y*cos(X) = 0

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод разделения переменных или метод характеристического уравнения. Оба метода приведут к одному и тому же результату. Давайте воспользуемся методом характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение получается путем замены y' на λ, где λ - неизвестная константа. Таким образом, характеристическое уравнение будет иметь вид: λ - y*cos(X) = 0

Решим это уравнение относительно λ: λ = y*cos(X)

Шаг 2: Найдем общее решение неоднородного уравнения. Теперь, когда у нас есть общее решение однородного уравнения, мы можем использовать метод вариации постоянной для нахождения общего решения неоднородного уравнения.

Для этого предположим, что решение неоднородного уравнения имеет вид y = C(X)*y_h(X), где y_h(X) - общее решение однородного уравнения, а C(X) - функция, которую мы должны найти.

Подставим это предположение в неоднородное уравнение: C'(X)*y_h(X) + C(X)*y_h'(X) - C(X)*y_h(X)*cos(X) = (√X)*e^sin(X)

Теперь найдем производные y_h(X) и y_h'(X): y_h(X) = λ*cos(X) y_h'(X) = -λ*sin(X)

Подставим эти значения в уравнение: C'(X)*λ*cos(X) + C(X)*(-λ*sin(X)) - C(X)*λ*cos(X) = (√X)*e^sin(X)

Упростим это уравнение: C'(X)*λ*cos(X) - C(X)*λ*sin(X) = (√X)*e^sin(X)

Шаг 3: Решим полученное уравнение для функции C(X). Для решения этого уравнения мы можем использовать метод интегрирующего множителя или другие методы интегрирования. В данном случае, мы используем метод интегрирующего множителя.

Уравнение имеет вид: C'(X)*λ*cos(X) - C(X)*λ*sin(X) = (√X)*e^sin(X)

Умножим обе части уравнения на e^(-λ*sin(X)): C'(X)*λ*cos(X)*e^(-λ*sin(X)) - C(X)*λ*sin(X)*e^(-λ*sin(X)) = (√X)

Теперь заметим, что левая часть уравнения представляет собой производную от (C(X)*e^(-λ*sin(X))) по X, так как производная от e^(-λ*sin(X)) равна -λ*sin(X)*e^(-λ*sin(X)). Таким образом, получаем: (d/dX)(C(X)*e^(-λ*sin(X))) = (√X)

Интегрируем обе части уравнения: ∫(d/dX)(C(X)*e^(-λ*sin(X))) dX = ∫(√X) dX

Теперь проинтегрируем обе части уравнения: C(X)*e^(-λ*sin(X)) = (2/3)*X^(3/2) + K

Где K - произвольная константа интегрирования.

Шаг 4: Найдем функцию C(X). Для нахождения функции C(X), разделим обе части уравнения на e^(-λ*sin(X)): C(X) = [(2/3)*X^(3/2) + K] * e^(λ*sin(X))

Шаг 5: Найдем общее решение неоднородного уравнения. Теперь, когда у нас есть функция C(X), мы можем записать общее решение неоднородного уравнения в виде: y = C(X)*y_h(X) = [(2/3)*X^(3/2) + K] * e^(λ*sin(X)) * λ*cos(X)

Где λ - константа из однородного уравнения, а K - произвольная константа.

Таким образом, мы нашли общее решение данного дифференциального уравнения.