Question

Компания утверждает, что новый вид зубной пасты для детей лучше пре- дохраняет зубы от кариеса, чем зубные пасты, производимые другими фирма- ми. Для проверки была отобрана случайным образом группа из 400 детей, ко- торые пользовались новым видом зубной пасты. Другая группа из 300 детей, также случайно выбранных, в это же время пользовалась другими видами зуб- ной пасты. Было выявлено, что у 30 детей, использующих новую пасту, и 25 детей из контрольной группы появились новые признаки кариеса. Имеются ли у компании достаточные основания для утверждения о том, что новый сорт зубной пасты эффективнее предотвращает кариес, чем другие виды зубной пасты?

Answer 1

Найдем сколько это будет в %.
7.5% и 8.33%
8.33 - 7.5= 0.83
новая эффективнее на 0.83%

Answer 2

Для ответа на данную задачу необходимо провести статистический анализ полученных данных.

В данном случае у нас есть две группы детей: группа, которая использовала новый вид зубной пасты, и контрольная группа, которая использовала другие виды зубных паст.

Согласно условию, у 30 детей из группы, использующей новую пасту, появились новые признаки кариеса, а из контрольной группы - 25 детей.

Для проверки гипотезы о том, что новый вид зубной пасты лучше предотвращает кариес, чем другие виды паст, воспользуемся методом проверки разности долей.

Пусть: p1 - доля детей в группе, использующей новую пасту, у которых появились новые признаки кариеса. p2 - доля детей в контрольной группе, у которых появились новые признаки кариеса. n1 - количество детей в группе, использующей новую пасту (400). n2 - количество детей в контрольной группе (300).

H0: p1 = p2 (гипотеза о равенстве долей). H1: p1 > p2 (гипотеза о различии долей).

Для проверки гипотезы будем использовать критерий Хи-квадрат. Вычислим наблюдаемые и ожидаемые частоты для каждой группы:

Наблюдаемые частоты: n1 * p1 = 400 * (30/400) = 30 (число детей из группы, использующей новую пасту, у которых появились новые признаки кариеса) n2 * p2 = 300 * (25/300) = 25 (число детей из контрольной группы, у которых появились новые признаки кариеса)

Ожидаемые частоты: n1 * (p1 + p2) = 400 * (30/400 + 25/300) = 35 (ожидаемое число детей из группы, использующей новую пасту, у которых появились новые признаки кариеса) n2 * (p1 + p2) = 300 * (30/400 + 25/300) = 30 (ожидаемое число детей из контрольной группы, у которых появились новые признаки кариеса)

Теперь можно приступить к вычислению значения статистики Хи-квадрат:

Хи_квадрат = (наблюдаемая частота - ожидаемая частота)^2 / ожидаемая частота

Вычислим значения статистики Хи-квадрат для каждой группы и найдем их сумму:

Хи_квадрат_1 = (30 - 35)^2 / 35 = 1.4286 Хи_квадрат_2 = (25 - 30)^2 / 30 = 1.6667

Хи_квадрат_общая = Хи_квадрат_1 + Хи_квадрат_2 = 1.4286 + 1.6667 = 3.0953

Находим количество степеней свободы (количество групп - 1) = 2 - 1 = 1

Для уровня значимости α = 0.05 и числа степеней свободы df = 1, находим критическое значение Хи-квадрат (χ^2_критическое) из таблицы квантилей распределения Хи-квадрат.

При сравнении с критическим значением, если значение статистики Хи-квадрат больше критического значения, то мы отвергаем нулевую гипотезу (H0). В противном случае, если значение статистики Хи-квадрат меньше критического значения, то мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу и считаем результаты несущественными.

После определения критического значения Хи-квадрат и сравнения его со значением статистики Хи-квадрат_общая, можно сделать вывод о том, имеются ли достаточные основания для утверждения о том, что новый сорт зубной пасты эффективнее предотвращает кариес, чем другие виды зубной пасты. Если значение Хи-квадрат_общая превышает критическое значение, то можно сделать вывод, что новый сорт зубной пасты действительно более эффективен в предотвращении кариеса.

Однако, для полной верификации результата, следует также учесть такие факторы, как возраст детей, режим их питания, гигиенические привычки, а также возможные побочные эффекты и безопасность нового вида зубной пасты.