Question

Интеграл ((sqrt(a) + sqrt(x))^2)dx/sqrt(ax) помогите пожалуйста (желательно подробно)

Answer 1

Sqrt(x) - это обозначение квадратного корня от х (от английского "square root"), т.е. это можно записать как √х. Как правило, используется при написании кода или, что вероятнее на этом сайте, при вставке формул через equation (символ пи в форме ввода ответа), почитайте о латехе. Теперь непосредственно к вопросу. 
$\int \frac{(\sqrt{a} +\sqrt{x} )^2dx }{\sqrt{ax} } =\int \frac{(a +2\sqrt{ax}+ x )dx }{\sqrt{ax} } =\int( \frac{ a}{ \sqrt{ax} } + \frac{2 \sqrt{ax} }{ \sqrt{ax} } + \frac{x}{ \sqrt{ax} } )dx=\\\\=\int( \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{x} } + 2+ \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{a} } )dx=\int \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{x} }dx + 2 \int dx+ \int \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{a} } dx=\\\\= \sqrt{a} * \sqrt{x} *2+2x+ \sqrt[3]{x} * \frac{2}{3} +C=2 \sqrt{ax} +2x+ \frac{2}{3} \sqrt[3]{x} +C$

Answer 2

Для решения данного интеграла мы можем провести замену переменных. Пусть u = sqrt(ax), тогда x = u^2/a и dx = 2u/а du. Для представления числа u^2 в подынтегральной функции в виде рациональной дроби, мы можем использовать формулу разложения разности квадратов: u^2 - a = (u - sqrt(a))(u + sqrt(a)). Теперь мы можем решить интеграл:

∫((sqrt(a) + sqrt(x))^2)/(sqrt(ax)) dx

∫((sqrt(a) + sqrt(x))^2)/(u) * (2u/a) du = (2/a) * ∫((sqrt(a) + sqrt(x))^2 du

Теперь раскрыть квадрат и вынести константу за знак интеграла:

= (2/a) * ∫((a + 2sqrt(ax) + x) du = (2/a) * ∫(a + 2sqrt(ax) + x) du = (2/a)(au + (4/3)sqrt(ax) + (1/2)x^2) + C

где С - постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ на данный интеграл можно записать как:

(2/a)(au + (4/3)sqrt(ax) + (1/2)x^2) + C.