Question

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=sinx на отрезке [п/4;5п/3]y=cosx на отрезке [-2п/3;0]

Answer 1

$y=\sin x\quad [\frac{\pi}4;\frac{5\pi}3]\\y'=\cos x\\\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}2+2\pi n\in [\frac{\pi}4;\frac{5\pi}3]\\x=\frac{\pi}4\Rightarrow y=\sin\frac{\pi}4=\frac{\sqrt2}2\\x=\frac{\pi}2\Rightarrow y=\sin\frac{\pi}2=1\\x=\frac{5\pi}3\Rightarrow y=\sin\frac{5\pi}3=-\frac{\sqrt3}2$

Итак, наибольшее значение функции 1, наименьшее $-\frac{\sqrt3}2$

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции y = sin(x) на отрезке [π/4; 5π/3], нужно найти значения функции в крайних точках отрезка и в стационарных точках - точках, где производная функции равна нулю.

1. Найдем значения функции в крайних точках отрезка: Подставляем x = π/4: y = sin(π/4) = √2/2

Подставляем x = 5π/3: y = sin(5π/3) = -√3/2

Таким образом, наименьшее значение функции y = sin(x) на отрезке [π/4; 5π/3] равно -√3/2, а наибольшее значение равно √2/2.

2. Найдем стационарные точки функции y = sin(x) на отрезке [π/4; 5π/3]: Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y' = cos(x) cos(x) = 0 x = π/2 + kπ, где k - целое число

Таким образом, стационарные точки функции y = sin(x) на отрезке [π/4; 5π/3] это π/2 и 3π/2.

Теперь рассмотрим функцию y = cos(x) на отрезке [-2π/3; 0]. Аналогично, найдем значения функции в крайних точках и стационарных точках.

1. Найдем значения функции в крайних точках отрезка: Подставляем x = -2π/3: y = cos(-2π/3) = -1/2

Подставляем x = 0: y = cos(0) = 1

Таким образом, наименьшее значение функции y = cos(x) на отрезке [-2π/3; 0] равно -1/2, а наибольшее значение равно 1.

2. Найдем стационарные точки функции y = cos(x) на отрезке [-2π/3; 0]: Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y' = -sin(x) -sin(x) = 0 x = kπ, где k - целое число

Таким образом, стационарные точки функции y = cos(x) на отрезке [-2π/3; 0] это -π и 0.

В итоге, наименьшее значение функции y = sin(x) на отрезке [π/4; 5π/3] равно -√3/2, а наибольшее значение равно √2/2. Наименьшее значение функции y = cos(x) на отрезке [-2π/3; 0] равно -1/2, а наибольшее значение равно 1.