Question

Докажите,что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности

Answer 1

Берем квадрат ребро которого равно 4см вписываем в него окружность
4х4=16 кв см-площадь квадрата 
4:2=2см-радиус вписанной окружности
(16х4):2=32см-произведение периметра на радиус
32:2=16см -половина произведения периметра на радиус
Ответ:площадь квадрата равна половине произведения на радиус вписанной окружности

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим многоугольник со сторонами $a_1, a_2, ..., a_n$ и его вписанную окружность с радиусом $r$. Предположим, что многоугольник можно разделить на треугольники с основаниями $a_1, a_2, ..., a_n$ и высотами, опущенными из центра вписанной окружности.

Тогда площадь каждого треугольника равна половине произведения его основания на высоту, то есть $S_i = (a_i \cdot r)/2$. Полная площадь многоугольника равна сумме площадей всех треугольников, то есть $S = \sum_{i=1}^{n} S_i = \sum_{i=1}^{n} (a_i \cdot r)/2$.

Докажем, что $\sum_{i=1}^{n} a_i = 2\pi r$, где $\pi$ – математическая константа, равная примерно 3.14 (число пи), а значит, $\sum_{i=1}^{n} (a_i \cdot r)/2 = \pi r^2$. Это можно сделать с помощью формулы для периметра и длины окружности.

Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон: $P = \sum_{i=1}^{n} a_i$. Длина окружности равна $C = 2\pi r$.

Докажем, что $P = C$. Разобьем окружность на $n$ частей, соответствующих сторонам многоугольника, и рассмотрим одну из таких частей, образующих угол $\alpha$ при центре окружности. Длина этой дуги равна $d = \alpha r$.

Так как сумма всех углов в многоугольнике равна $180(n-2)$ градусам, угол $\alpha = \frac{180(n-2)}{n}$ градусов (для выпуклых многоугольников).

Тогда длина каждой дуги равна $d = \frac{180(n-2)}{n} r$. Суммируя все длины дуг, получаем:

$C = n \cdot d = n \cdot \frac{180(n-2)}{n} r = 180(n-2)r$.

Таким образом, $P = \sum_{i=1}^{n} a_i = C = 180(n-2)r$, или $P = 2\pi r$.

Тогда $S = \sum_{i=1}^{n} (a_i \cdot r)/2 = \sum_{i=1}^{n} (a_i \cdot 2r)/4 = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot 2r = \frac{1}{2}\cdot 2\pi r \cdot r = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r = \frac{1}{2}\cdot (2\pi r^2)$.

Таким образом, площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.