Question

Через любую точку пространства проходит единственная прямая,которая перпендикулярна к данной плоскости.Док-во теоремы.

Answer 1

Предположим, что таких прямых две. 
Назовем исходную точку - О, а точки пересечения прямых и плоскости - А и С. Тогда в треугольнике АОС два прямых угла (углы А и С - по определению перпендикуляра к плоскости). А такое невозможно. 

Answer 2

Дано: плоскость \(P\) и точка \(A\) в пространстве.

Задача: доказать, что через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная к данной плоскости \(P\).

Доказательство:

1. Рассмотрим произвольную точку \(A\) в пространстве и плоскость \(P\).

2. Построим прямую \(l\), проходящую через точку \(A\) и перпендикулярную к плоскости \(P\). Для этого возьмем вектор нормали \(\vec{n}\) к плоскости \(P\) (вектор, перпендикулярный всем векторам, лежащим в плоскости \(P\)).

3. Любой вектор, параллельный прямой \(l\), будет коллинеарен вектору нормали \(\vec{n}\). Таким образом, вектор направления прямой \(l\) можно выбрать равным \(\vec{n}\) или \(-\vec{n}\) (вектор, противоположный \(\vec{n}\)).

4. Покажем, что прямая \(l\) единственная. Предположим, что существует другая прямая \(m\), проходящая через точку \(A\) и перпендикулярная к плоскости \(P\).

5. Вектор направления прямой \(m\) также коллинеарен вектору нормали \(\vec{n}\). Поскольку векторы направления прямых \(l\) и \(m\) коллинеарны и проходят через одну и ту же точку \(A\), прямые \(l\) и \(m\) совпадают.

Таким образом, через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная к данной плоскости \(P\). Теорема доказана.