Question

Найдите область определения функций: а) y=6 / x-2; б) y=1 / √6-3x в)y=√x²-3x-4

Answer 1

А) x ≠ 2
б) х ≠ 2
в) х ≠ 4

Answer 2

Определение области определения функций

Область определения функции определяет все значения, которые независимая переменная (обычно обозначается как "x") может принимать, чтобы функция имела смысл. Другими словами, это множество значений "x", для которых функция определена и не имеет деления на ноль или других неопределенностей.

Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности и найдем их области определения.

а) y = 6 / (x - 2)

В этой функции мы имеем деление на (x - 2). Чтобы избежать деления на ноль, необходимо, чтобы знаменатель (x - 2) был отличен от нуля. Таким образом, область определения этой функции будет любое значение "x", кроме x = 2.

Область определения: x ≠ 2 (все значения "x", кроме x = 2)

б) y = 1 / (√(6 - 3x))

В этой функции мы имеем деление на (√(6 - 3x)). Чтобы избежать деления на ноль, необходимо, чтобы знаменатель (√(6 - 3x)) был отличен от нуля. Значение подкоренного выражения должно быть неотрицательным, чтобы избежать комплексных чисел.

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: √(6 - 3x) ≠ 0

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 6 - 3x ≥ 0

Давайте решим неравенство:

6 - 3x ≥ 0

Вычитаем 6 из обеих сторон:

-3x ≥ -6

Делим на -3 и меняем направление неравенства:

x ≤ 2

Таким образом, подкоренное выражение (√(6 - 3x)) будет неотрицательным, только если x ≤ 2.

Область определения: x ≤ 2 (все значения "x", меньшие или равные 2)

в) y = √(x² - 3x - 4)

В этой функции мы имеем извлечение квадратного корня из (x² - 3x - 4). Чтобы избежать комплексных чисел, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Решим неравенство:

x² - 3x - 4 ≥ 0

Для нахождения области определения, найдем корни этого квадратного уравнения:

x = (-(-3) ± √((-3)² - 4(1)(-4))) / (2(1))

x = (3 ± √(9 + 16)) / 2

x = (3 ± √25) / 2

x = (3 ± 5) / 2

Таким образом, корни этого квадратного уравнения равны x = -1 и x = 4.

Определения функций не могут иметь отрицательное значение подкоренного выражения, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

x² - 3x - 4 ≥ 0

(x - 4)(x + 1) ≥ 0

Рассмотрим знаки на интервалах:

x < -1: (-)(-) ≥ 0 (ложь) -1 < x < 4: (-)(+) ≥ 0 (истина) x > 4: (+)(+) ≥ 0 (истина)

Таким образом, подкоренное выражение будет неотрицательным только на интервале -1 < x < 4.

Область определения: -1 < x < 4 (все значения "x" между -1 и 4)

Пожалуйста, обратите внимание, что эти области определения могут измениться в зависимости от контекста или дополнительных ограничений для каждой функции.