Question

Розв'яжіть рівняння √3sin3x-cos3x=1 методом введення допоміжного аргументу Будь ласка розв'яжіть,буду дуже вдячна))))

Answer 1

Наверное так
sqrt(3)*sin3x+cos3x=1
sqrt(3)/2*sin3x+1/2cos3x=1/2
sin(3x+П/3)=1/2
3x+П/3=П/6+2Пn
3x=2Пn-П/6   x=2/3Пn-П/18
3x+П/3=П5/6+2Пn
3x=П/2+2Пn
x=П/6+2/3Пn

Answer 2

Для розв'язання даного рівняння використаємо метод введення допоміжного аргументу.

1. Запишемо дане рівняння: √3sin3x - cos3x = 1

2. Позначимо sin3x = p і cos3x = q, тоді ми отримаємо таку систему рівнянь: √3p - q = 1 (1) p^2 + q^2 = 1 (2)

3. Розв'яжемо систему рівнянь (1) і (2).

a) Піднесемо до квадрату обидва боки рівняння (1): (√3p - q)^2 = (1)^2 3p^2 - 2√3pq + q^2 = 1 (3) b) Виразимо p^2 з (2): p^2 = 1 - q^2 (4)

4. Підставимо (4) в (3): 3(1 - q^2) - 2√3q + q^2 = 1 3 - 3q^2 - 2√3q + q^2 = 1 2 - 2q^2 - 2√3q = 0

5. Розв'яжемо дане квадратне рівняння: 2q^2 + 2√3q - 2 = 0

6. Знайдемо корені цього рівняння, звідси отримаємо значення q (cos3x): q = ( -2√3 ± √( (2√3)^2 - 4(2)(-2) ) ) / (2(2)) = ( -2√3 ± √(12 + 16) ) / 4 = ( -2√3 ± √28 ) / 4

7. Скоротимо дроби: q = ( -√3 ± √7 ) / 2

8. Перейдемо до sin3x: p^2 = 1 - q^2 = 1 - ( (-√3 ± √7) / 2 )^2 = 1 - ( 3 - 2√3√7 + 7 ) / 4 = 1 - ( 10 - 2√21 ) / 4 = ( 4 - 10 + 2√21 ) / 4 = ( -6 + 2√21 ) / 4 = ( -3 + √21 ) / 2

b) Знайдемо значення sin3x: p = ± √( ( -3 + √21 ) / 2 )

9. Запишемо значення sin3x і cos3x: sin3x = ± √( ( -3 + √21 ) / 2 ) cos3x = ( -√3 ± √7 ) / 2

10. Запишемо значення x. Дійсними коренями будуть ті значення, при яких sin3x і cos3x належать до проміжку [-1, 1].

a) Якщо sin3x = √( ( -3 + √21 ) / 2 ): sin3x = √( ( -3 + √21 ) / 2 ) sin3x = √3/2 корень x: 3x = π/3 + 2πk, де k - ціле число

b) Якщо sin3x = - √( ( -3 + √21 ) / 2 ): sin3x = - √( ( -3 + √21 ) / 2 ) sin3x = -√3/2 корень x: 3x = 2π/3 + 2πk, де k - ціле число

Таким чином, корені рівняння √3sin3x-cos3x=1 методом введення допоміжного аргументу будуть: x = (π/9 + 2πk)/3, x = (2π/9 + 2πk)/3, де k - ціле число.