Question

Доказать, что функция f(x) и g(x) при x→0 являются бесконечно малыми одного порядка малости.Помогите пожалуйста, очень прошу.

Answer 1

Сначала покажем, что данные функции являются бесконечно малыми:
$\lim_{x \to 0} f(x)=$$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{2+x} = \lim_{x \to 0} \frac{3*0}{2+0}=0$
$\lim_{x \to 0} g(x)= \lim_{x \to 0} 7x^2= \lim_{x \to 0} 7*0=0$
Теперь найдем предел отношения данных функций:
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{(2+x)7x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{14+7x} = \frac{3}{14+7*0} = \frac{3}{14}$
Мы видим, что предел равен конечному отличному от 0 числу, следовательно данные функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми одного порядка малости при $x \to 0$

Answer 2

Чтобы доказать, что функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми одного порядка малости при x → 0, необходимо показать, что по определению бесконечно малой, предел отношения f(x)/g(x) при x → 0 равен конечному числу K.

Математический формализм: если lim(x→0) f(x)/g(x) = K, где K – константа (конечное число), то f(x) и g(x) являются бесконечно малыми одного порядка.

Давайте рассмотрим конкретные функции f(x) и g(x) и проверим, выполняется ли это условие для них.

Пусть f(x) = sin(x), g(x) = x.

lim(x→0) sin(x)/x = 1

Таким образом, при x → 0 функции f(x) = sin(x) и g(x) = x являются бесконечно малыми одного порядка малости, так как предел их отношения при x → 0 равен 1.

Заметим, что sin(x) можно разложить в ряд Тейлора:

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

В этом разложении все последующие члены многочлена содержат степени x, которые выше третьей степени. Поэтому можно сказать, что sin(x) является бесконечно малой функцией при x → 0, аналогично и для g(x) = x.

Таким образом, функции f(x) = sin(x) и g(x) = x являются бесконечно малыми одного порядка малости при x → 0.