Question

Решите уравнение: sin2x+√2 sinx=0 Укажите все корни уравнения,принадлежащие отрезку [-3П/2;3П/2]

Answer 1

Вот.........................................................................

Answer 2

Давайте решим уравнение \( \sin(2x) + \sqrt{2}\sin(x) = 0 \) на отрезке \([-3\pi/2, 3\pi/2]\).

Сначала преобразуем уравнение:

\[ \sin(2x) + \sqrt{2}\sin(x) = 0 \]

Формула двойного угла для синуса гласит:

\[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \]

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение:

\[ 2\sin(x)\cos(x) + \sqrt{2}\sin(x) = 0 \]

Теперь вынесем общий множитель \(\sin(x)\):

\[ \sin(x)(2\cos(x) + \sqrt{2}) = 0 \]

Таким образом, у нас есть два случая:

1. \(\sin(x) = 0\) 2. \(2\cos(x) + \sqrt{2} = 0\)

Решение первого случая:

Если \(\sin(x) = 0\), то это возможно, когда \(x = n\pi\), где \(n\) - целое число.

Решение второго случая:

Решим уравнение \(2\cos(x) + \sqrt{2} = 0\):

\[ 2\cos(x) = -\sqrt{2} \]

\[ \cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Это равенство выполняется в двух случаях на отрезке \([-3\pi/2, 3\pi/2]\) из-за периодичности функции косинуса:

1. Когда \(x = \frac{5\pi}{4}\) 2. Когда \(x = \frac{7\pi}{4}\)

Таким образом, корни уравнения \(\sin(2x) + \sqrt{2}\sin(x) = 0\) на отрезке \([-3\pi/2, 3\pi/2]\) - это \(x = n\pi, x = \frac{5\pi}{4}, x = \frac{7\pi}{4}\), где \(n\) - целое число.