Question

Найти x^2 + 4/x^2еслиx - 2/x = 3

Answer 1

$(x-\frac{2}{x})^2=9\\ x^2-4+\frac{4}{x^2}=9\\ x^2+\frac{4}{x^2}=13$

Answer 2

Итак, у нас есть уравнение:

\[ \frac{x^2 + 4}{x} = 3 \]

Чтобы найти \( x^2 + \frac{4}{x^2} \), давайте сначала избавимся от дроби, умножив обе стороны уравнения на \( x \):

\[ x^2 + 4 = 3x \]

Теперь давайте перепишем это уравнение в виде уравнения квадратного полинома:

\[ x^2 - 3x + 4 = 0 \]

Это квадратное уравнение нелинейно, поэтому решим его с помощью квадратного трехчлена или квадратного уравнения.

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где у нас \( a = 1 \), \( b = -3 \) и \( c = 4 \):

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 * 1 * 4}}{2 * 1} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} \]

Так как подкоренное выражение отрицательное (\( \sqrt{-7} \)), у нас нет действительных корней для этого уравнения. Однако мы можем найти комплексные корни:

\[ x = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2} \]

Теперь, чтобы найти \( x^2 + \frac{4}{x^2} \), мы можем использовать формулу:

\[ x^2 + \frac{4}{x^2} = \left(x + \frac{2}{x}\right)^2 - 2 \]

Исходное уравнение дает нам значение \( x + \frac{2}{x} = 3 \). Тогда:

\[ \left(x + \frac{2}{x}\right)^2 - 2 = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \]

Таким образом, \( x^2 + \frac{4}{x^2} = 7 \).