Question

Докажите тождество: sin в 4 степени a/2 - cos в 4 степени a/2=- cos a

Answer 1

=(sin²α/2-cos²α/2)(sin²α/2+cos²α/2)=-(cos²α/2-sin²α/2)·1=-cosα

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую часть данного тождества и докажем его.

1. Левая часть тождества: sin в 4 степени a/2 - cos в 4 степени a/2

По формулам тригонометрии, мы знаем, что:

sin в 4 степени a/2 = (sin в 2 степени a/2) в 2 степени cos в 4 степени a/2 = (cos в 2 степени a/2) в 2 степени

Подставляя эти значения в левую часть тождества, получаем:

(sin в 2 степени a/2) в 2 степени - (cos в 2 степени a/2) в 2 степени

2. Правая часть тождества: -cos a

Теперь рассмотрим правую часть тождества. По определению косинуса, мы знаем, что:

-cos a = cos (a + π)

3. Доказательство тождества

Теперь проведем доказательство данного тождества, используя известные тригонометрические тождества.

Мы начнем с левой части тождества:

(sin в 2 степени a/2) в 2 степени - (cos в 2 степени a/2) в 2 степени

По формуле синуса в квадрате, мы можем заменить sin в 2 степени a/2 на (1 - cos в 2 степени a/2):

((1 - cos в 2 степени a/2) в 2 степени) - (cos в 2 степени a/2) в 2 степени

Раскрывая квадраты, получаем:

(1 - 2cos в 2 степени a/2 + cos в 4 степени a/2) - cos в 4 степени a/2

Сокращая слагаемые, получаем:

1 - 2cos в 2 степени a/2 + cos в 4 степени a/2 - cos в 4 степени a/2

- 2cos в 2 степени a/2 + 1

Теперь рассмотрим правую часть тождества:

-cos a = cos (a + π)

Мы заметим, что cos в 2 степени a/2 - 1 = cos (a + π). Подставляя это значение вместо правой части тождества, получаем:

- 2cos в 2 степени a/2 + 1

Таким образом, мы видим, что левая часть тождества равна правой части:

(sin в 4 степени a/2) - (cos в 4 степени a/2) = -cos a

Таким образом, мы доказали данное тождество.