Question

Найти производную 1)y=(x^2-5x+8)^6 2) f(x)=√(4-x^2) 3)y=ln(2x^2-3)

Answer 1

1)(6*(x^2-5x+8)^5)*(2x-5)=(12x-30)*(x^2-5x+8)
2)-2x/2*√(4-x^2)=-(x/√(4-x^2))
3)(4x)/(2x^2-3)

Answer 2

Конечно, давайте найдем производные данных функций.

1) Пусть \( y = (x^2 - 5x + 8)^6 + 2 \).

Чтобы найти производную этой функции, используем цепное правило (chain rule). Сначала найдем производную внешней функции, затем умножим её на производную внутренней функции.

Начнем с внешней функции \( u = u^6 + 2 \). Ее производная:

\[ \frac{{dy}}{{du}} = 6u^5 \]

Теперь рассмотрим внутреннюю функцию \( u = x^2 - 5x + 8 \). Ее производная:

\[ \frac{{du}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(x^2 - 5x + 8) = 2x - 5 \]

Теперь применим цепное правило:

\[ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}} = 6u^5 \cdot (2x - 5) \]

Заменим обратно \( u \) на \( (x^2 - 5x + 8) \):

\[ \frac{{dy}}{{dx}} = 6(x^2 - 5x + 8)^5 \cdot (2x - 5) \]

Это и есть производная функции \( y \) по \( x \).

2) Пусть \( f(x) = \sqrt{4 - x^2} + 3 \).

Чтобы найти производную этой функции, используем правило дифференцирования сложной функции.

Начнем с функции \( u = \sqrt{4 - x^2} \). Ее производная:

\[ \frac{{du}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(\sqrt{4 - x^2}) = \frac{{-x}}{{\sqrt{4 - x^2}}} \]

Теперь, используя цепное правило, найдем производную \( f(x) \):

\[ \frac{{df}}{{dx}} = \frac{{du}}{{dx}} + 0 = \frac{{-x}}{{\sqrt{4 - x^2}}} \]

Это и есть производная функции \( f(x) \) по \( x \).

3) Пусть \( y = \ln(2x^2 - 3) \).

Чтобы найти производную этой функции, применим правило дифференцирования логарифма.

Производная функции \( \ln(u) \), где \( u \) - функция от \( x \), равна \( \frac{{du}}{{dx}} \cdot \frac{1}{u} \).

В данном случае \( u = 2x^2 - 3 \). Найдем производную \( u \):

\[ \frac{{du}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(2x^2 - 3) = 4x \]

Теперь применим правило дифференцирования логарифма:

\[ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{du}}{{dx}} \cdot \frac{1}{u} = \frac{{4x}}{{2x^2 - 3}} \]

Это и есть производная функции \( y \) по \( x \).

Таким образом, мы нашли производные для всех трех функций.