Question

Знайти т. перетину для параболи (1/4*x^2)+1 і кола з центром в т. А (0, 2) і з радіусом 5.

Answer 1

Уравнение данной нам параболы
$y= (1/4*x^2)+1$, 
уравнение окружности
$x^{2} +(y-2)^2=25$

Решим систему данных уравнений:

$\left \{ {{y= \frac{x^2}{4} +1} \atop {x^{2} +(y-2)^2=25}} \right. \\ \\ x^{2} +(\frac{x^2}{4} +1-2)^2=25 \\ \\ x^{2} +(\frac{x^2}{4} -1)^2=25$

Произведем подстановку

$t=\frac{x^2}{4} \\ \\ 4t +(t -1)^2=25 \\ \\ 4t +t^2-2t+1=25 \\ \\ t^2+2t+1=25 \\ \\ (t +1)^2=25 \\ \\ t+1=б5 \\ \\ t=-1б5 \\ \\ t_1=-6;t_2=4$

Выполним обратную подстановку. Заметим, что для t=-6 нет решений в области действительных чисел. Поэтому остается только корень t=4. 

$\frac{x^2}{4}=4 \\ \\ x^{2} =16 \\ \\ x=б4$

$y(4)=4^2/4+1=5 \\ \\ y(-4)=4^2/4+1=5$

Следовательно, данные парабола и окружность имеют две точки пересечения: (4; 5) и (-4; 5).

Answer 2

Щоб знайти точки перетину параболи та кола, необхідно вирішити систему рівнянь, що складається з рівнянь параболи та кола.

Парабола задана рівнянням: \(y = \frac{1}{4}x^2 + 1\).

Коло задане рівнянням: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), де \(a\) та \(b\) - координати центру кола, \(r\) - радіус.

Для даного кола центр знаходиться в точці \(A(0, 2)\), а радіус дорівнює 5.

Таким чином, рівняння кола: \((x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 5^2\), або \(x^2 + (y - 2)^2 = 25\).

Тепер ми повинні знайти точки перетину цих двох кривих, тобто розв'язати систему рівнянь:

\[ \begin{cases} y = \frac{1}{4}x^2 + 1 \\ x^2 + (y - 2)^2 = 25 \end{cases} \]

Підставимо в перше рівняння вираз для \(y\) з другого рівняння:

\[ x^2 + ( (\frac{1}{4}x^2 + 1) - 2 )^2 = 25 \]

Спростимо це рівняння та знайдемо його розв'язки. Зауважте, що це може бути складним завданням для ручного розрахунку, і може знадобитися використання комп'ютерних інструментів, таких як програма для символьного обчислення.

Розв'язавши цю систему, ви отримаєте координати точок перетину параболи та кола.