Question

исследовать на монотонность функцию

Answer 1

Находите производную и приравнивайте ее к нулю, решайте уравнение.

3*х^2*(1-х)-(-1)*х^3 = 0

У меня получилось х1 = 0 и х2 = 1,5.

Теперь чертите числовую прямую и отмечайте на ней все эти точки: 0, 1 и 1,5 Нужно определить знак производной (подставлять именно в производную!) на каждом промежутке. от минус бесконечности до нуля +, значит, функция монотонно возрастает на этом промежутке.
от нуля до 1 тоже +, значит, функция и на этом промежутке монотонно возрастает. От 1 до 1,5 производная также положительна, значит, и на этом промежутке функция монотонно возрастает. И от 1,5 до плюс бесконечности производная отрицательна, значит на этом промежутке функция будет монотонно убывать.

Answer 2

Исследование на монотонность функции

Исследование на монотонность функции позволяет определить, возрастает или убывает функция на определенном интервале. Для этого необходимо проанализировать производную функции и ее знак на данном интервале.

Вот несколько примеров функций и их исследование на монотонность:

1. Функция y = e^x / x: - Для исследования на монотонность необходимо найти производную функции. - Производная функции равна (e^x - e^x * ln(x)) / x^2. - Знак производной зависит от значения e^x - e^x * ln(x) и x^2. - Исследование на монотонность требует дополнительного анализа, так как производная не может быть выражена в явном виде.

2. Функция y = -1/4 * (x^3 - 3x^2 + 4): - Для исследования на монотонность необходимо найти производную функции. - Производная функции равна -3/4 * x^2 + 3/2 * x. - Знак производной зависит от значения -3/4 * x^2 + 3/2 * x. - Функция возрастает на интервале (-∞, 0) и убывает на интервале (0, ∞).

3. Функция y = ln((x + 1) / (x + 2)): - Для исследования на монотонность необходимо найти производную функции. - Производная функции равна 1 / (x + 1) - 1 / (x + 2). - Знак производной зависит от значения 1 / (x + 1) - 1 / (x + 2). - Функция убывает на интервале (-∞, -1) и возрастает на интервале (-1, ∞).

4. Функция y = x / sqrt(x^2 + x): - Для исследования на монотонность необходимо найти производную функции. - Производная функции равна (x^2 + 2x) / (2 * (x^2 + x)^(3/2)). - Знак производной зависит от значения (x^2 + 2x) / (2 * (x^2 + x)^(3/2)). - Функция возрастает на интервале (-∞, -1) и убывает на интервале (-1, ∞).

5. Функция y = (x^3 - 1) / (4x^2): - Для исследования на монотонность необходимо найти производную функции. - Производная функции равна (3x^4 - 8x) / (4x^4). - Знак производной зависит от значения (3x^4 - 8x) / (4x^4). - Функция возрастает на интервале (-∞, 0) и убывает на интервале (0, ∞).

6. Функция y = x^3 / (x^2 - 1): - Для исследования на монотонность необходимо найти производную функции. - Производная функции равна (2x^4 - 3x^2) / (x^2 - 1)^2. - Знак производной зависит от значения (2x^4 - 3x^2) / (x^2 - 1)^2. - Функция возрастает на интервале (-∞, -1) и убывает на интервале (-1, 0) и (0, 1) и возрастает на интервале (1, ∞).

Примечание: В некоторых случаях исследование на монотонность может потребовать дополнительного анализа, так как производная функции может быть сложной и не выражаться в явном виде