Question

Докажите,что периметр треугольника,стороны которого являются средними линиями треугольника АВС,равен половине периметра треугольника АВС. Срочно!

Answer 1

Вот. Мы сами доказывали это не так давно.

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC и его средние линии. Средние линии треугольника соединяют середины его сторон. Обозначим вершины треугольника как A, B и C, а середины его сторон как M, N и P (соответственно для сторон AB, BC и CA).

Теперь предположим, что M, N и P - это середины сторон треугольника ABC. Соединим эти точки с вершинами треугольника, получим три новых отрезка: AM, BN и CP.

Таким образом, у нас образованы четыре треугольника: AMB, BNC, CPA и ABC. Эти треугольники имеют одинаковые базы (стороны треугольника ABC), их высоты равны друг другу, так как M, N и P - середины сторон.

Теперь рассмотрим периметр треугольника ABC. Периметр - это сумма длин его сторон. Пусть a, b и c - длины сторон треугольника ABC.

Периметр ABC = a + b + c

Теперь рассмотрим периметры треугольников AMB, BNC и CPA. Они равны:

Периметр AMB = AM + MB + AB Периметр BNC = BN + NC + BC Периметр CPA = CP + PA + CA

Так как M, N и P - середины сторон, AM = MB = BN = NC = CP = PA, и мы можем записать:

Периметр AMB = 2AM + AB Периметр BNC = 2BN + BC Периметр CPA = 2CP + CA

Теперь сложим эти три уравнения:

Периметр AMB + Периметр BNC + Периметр CPA = 2(AM + BN + CP) + (AB + BC + CA)

Но AM + BN + CP - это половина периметра треугольника ABC (по определению серединных линий), таким образом:

Периметр AMB + Периметр BNC + Периметр CPA = Половина периметра ABC + (AB + BC + CA)

Теперь вернемся к периметру треугольника ABC:

Периметр ABC = a + b + c

Таким образом, мы видим, что:

Периметр AMB + Периметр BNC + Периметр CPA = Половина периметра ABC + (AB + BC + CA)

Теперь вычитаем периметр ABC с обеих сторон:

(Периметр AMB + Периметр BNC + Периметр CPA) - Периметр ABC = (Половина периметра ABC + (AB + BC + CA)) - (a + b + c)

Левая сторона уравнения представляет собой сумму периметров треугольников AMB, BNC и CPA, а правая сторона представляет собой половину периметра ABC и сумму длин его сторон. Таким образом, левая и правая стороны уравнения равны между собой:

(AM + BN + CP) - (a + b + c) = (Половина периметра ABC + (AB + BC + CA)) - (a + b + c)

Поскольку AM + BN + CP равно половине периметра ABC (опять же, по определению серединных линий), у нас остается:

0 = 0

Таким образом, мы доказали, что периметр треугольника, стороны которого являются средними линиями треугольника ABC, равен половине периметра треугольника ABC.