Question

Партия лампочек сделана на трёх заводах ; 20% - на первом заводе ; 30% - на втором ; 50% - на третьем . Вероятность брака на этих заводах соответственно равна 00,1 , 0,005 и 0.006. Выбранная наугад лампочка оказалась бракованной. Какова вероятность того , что она изготовлена на первом заводе?

Answer 1

Вычисления не сложные, но вычисляем как в приложении.
Вероятность и брак и из первого = 1%*20% = 0,20%
И так для каждого завода.
Общий брак Sp =  0,20%+0,15%+0,30% = 0.65% - это вероятность брака.
И по формуле Байеса - для первого = 0,20/0,65 = 30,8% - ОТВЕТ

Answer 2

Давайте воспользуемся формулой условной вероятности для решения этой задачи. Пусть \( A \) - это событие, что лампочка изготовлена на первом заводе, а \( B \) - событие, что лампочка бракована. Тогда нам нужно найти вероятность того, что лампочка бракована и изготовлена на первом заводе, т.е. \( P(A|B) \).

Формула для условной вероятности: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

1. \( P(A) \) - вероятность того, что лампочка изготовлена на первом заводе, равна 20% или 0.2. 2. \( P(B|A) \) - вероятность того, что лампочка бракована при условии, что она изготовлена на первом заводе, равна 0.001 (0.1%). 3. \( P(B) \) - полная вероятность брака, которая равна сумме произведений вероятности брака на каждом заводе: \[ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(A') \cdot P(B|A') \] где \( P(A') \) - вероятность того, что лампочка не изготовлена на первом заводе, т.е. \( P(A') = 1 - P(A) \).

Вычислим:

\[ P(B) = 0.2 \cdot 0.001 + 0.8 \cdot (0.005 \cdot 0.3 + 0.006 \cdot 0.5) \]

Теперь мы можем использовать формулу условной вероятности:

\[ P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} \]

Подставим значения:

\[ P(A|B) = \frac{0.2 \cdot 0.001}{0.2 \cdot 0.001 + 0.8 \cdot (0.005 \cdot 0.3 + 0.006 \cdot 0.5)} \]

После вычислений получим значение вероятности того, что бракованная лампочка изготовлена на первом заводе.