Question

Знайти проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції f(x)=(x^2+7x)/(x-9)

Answer 1

Применены : формулы дифференцирования, взаимозависимость функции и производной

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання та спадання, а також точки екстремуму функції \( f(x) = \frac{x^2 + 7x}{x - 9} \), треба взяти похідну цієї функції та визначити її область визначення.

1. Знайдемо область визначення функції: Функція не визначена при значенні \( x = 9 \) (оскільки в знаменнику виникає ділення на нуль). Таким чином, область визначення функції \( f(x) \) - усі значення \( x \), крім \( x = 9 \).

2. Знайдемо похідну функції \( f(x) \): Використаємо правило квоцієнту та ланцюгового правила для обчислення похідної:

\[ f'(x) = \frac{(2x + 7)(x - 9) - (x^2 + 7x)}{(x - 9)^2} \]

Спростимо вираз:

\[ f'(x) = \frac{2x^2 - 18x + 7x - 63 - x^2 - 7x}{(x - 9)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 18x - 63}{(x - 9)^2} \]

3. Визначимо критичні точки: Критичні точки виникають там, де похідна рівна нулю або не існує. Знайдемо значення \( x \), при яких \( f'(x) = 0 \):

\[ x^2 - 18x - 63 = 0 \]

Розв'яжемо квадратне рівняння:

\[ (x - 21)(x + 3) = 0 \]

Звідси отримуємо дві критичні точки: \( x_1 = 21 \) та \( x_2 = -3 \).

4. Визначимо проміжки зростання та спадання: Розглянемо інтервали, утворені областями між критичними точками та відмінними від них значеннями \( x \). Виберемо точку з кожного інтервалу і визначимо знак похідної в цій точці.

- Для інтервалу \( (-\infty, -3) \): Виберемо \( x = -4 \) (значення взято за межами інтервалу) і підставимо в похідну. Отримаємо від'ємний результат. - Для інтервалу \( (-3, 9) \): Виберемо \( x = 0 \) і підставимо в похідну. Отримаємо додатний результат. - Для інтервалу \( (9, 21) \): Виберемо \( x = 10 \) і підставимо в похідну. Отримаємо від'ємний результат. - Для інтервалу \( (21, +\infty) \): Виберемо \( x = 22 \) (значення взято за межами інтервалу) і підставимо в похідну. Отримаємо додатний результат.

З цього випливає, що функція \( f(x) \) зростає на інтервалах \( (-3, 9) \) і \( (21, +\infty) \), та спадає на інтервалах \( (-\infty, -3) \) і \( (9, 21) \).

5. Визначимо точки екстремуму: Точки екстремуму відповідають критичним точкам. Отже, точки екстремуму цієї функції - \( x = -3 \) та \( x = 21 \).

Отже, функція \( f(x) \) має точки екстремуму в \( x = -3 \) та \( x = 21 \), проміжки зростання на інтервалах \( (-3, 9) \) і \( (21, +\infty) \), та проміжки спадання на інтервалах \( (-\infty, -3) \) і \( (9, 21) \).