Question

В лотерее спортлото необходимо зачеркнуть 6 видов спорта из 49 для получения денежного приза необходимо чтобы по крайней мере 3 из 6 зачеркнутых номеров совпали с теми которые случайным образом будут отобраны при разыгрывании тиража. Найти математическое ожидание случайной величины Х-числа случайно угаданных видов спорта

Answer 1

X             Формула                                          Вероятность P(x)

0               43*42*41*40*39*38                              0.436  
                 --------------------------
                 49*48*47*46*45*44 

1               6*43*42*41*40*39                               0.413
    С(6;1)*  --------------------------
                 49*48*47*46*45*44

2               6*5*43*42*41*40                                 0.132
    С(6;2)*  --------------------------
                 49*48*47*46*45*44

3               6*5*4*43*42*41                                   0.018
    С(6;3)*  --------------------------
                 49*48*47*46*45*44

4               6*5*4*3*43*42                                     0.00097
    С(6;4)*  --------------------------
                 49*48*47*46*45*44

5               6*5*4*3*2*43                                      0.000018 
    С(6;5)*  --------------------------
                 49*48*47*46*45*44

6               6*5*4*3*2*1                                       7.1*10^(-8)
                 --------------------------
                 49*48*47*46*45*44


M(x)=  0*P(0) + 1*P(1) +2*P(2) +3*P(3) +4*P(4) +5*P(5)+6*P(6)= 0.735

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте определим вероятность того, что определенное количество зачеркнутых видов спорта совпадет с номерами, выбранными при разыгрывании тиража.

Обозначим следующие величины: - \( n \) - общее количество видов спорта (в данном случае 49), - \( k \) - количество видов спорта, которые нужно зачеркнуть (в данном случае 6), - \( m \) - количество видов спорта, которые случайным образом будут отобраны (в данном случае 6).

Вероятность того, что \( x \) видов спорта совпадут, можно выразить следующим образом:

\[ P(X = x) = \frac{{C_k^x \cdot C_{n-k}^{m-x}}}{{C_n^m}} \]

где \( C_n^k \) обозначает количество сочетаний из \( n \) элементов по \( k \) элементов.

Теперь мы можем вычислить математическое ожидание случайной величины \( X \):

\[ E(X) = \sum_{x=3}^{6} x \cdot P(X = x) \]

Произведем вычисления:

\[ E(X) = \sum_{x=3}^{6} x \cdot \frac{{C_k^x \cdot C_{n-k}^{m-x}}}{{C_n^m}} \]

где: - \( n = 49 \) (общее количество видов спорта), - \( k = 6 \) (количество видов спорта, которые нужно зачеркнуть), - \( m = 6 \) (количество видов спорта, которые случайным образом будут отобраны).

\[ E(X) = 3 \cdot \frac{{C_6^3 \cdot C_{43}^3}}{{C_{49}^6}} + 4 \cdot \frac{{C_6^4 \cdot C_{43}^2}}{{C_{49}^6}} + 5 \cdot \frac{{C_6^5 \cdot C_{43}^1}}{{C_{49}^6}} + 6 \cdot \frac{{C_6^6 \cdot C_{43}^0}}{{C_{49}^6}} \]

Произведем подсчеты и получим значение математического ожидания \( E(X) \).