Question

8. Докажите, что любое четырехзначное число больше произведения его цифр.

Answer 1

9999=9+9+9+9=36              1000=1+0+0+0+=1           1899=1+8+9+9=27

Answer 2

Для доказательства того, что любое четырехзначное число больше произведения его цифр, мы можем использовать метод математической индукции.

Метод математической индукции состоит из двух шагов: базовый шаг и индукционный шаг.

Базовый шаг:

Проверим, выполняется ли данное утверждение для наименьшего четырехзначного числа, которое является 1000. Разложим число 1000 на произведение его цифр: 1 * 0 * 0 * 0 = 0. Мы видим, что число 1000 не больше произведения его цифр, так как равно 0. Таким образом, базовый шаг выполнен.

Индукционный шаг:

Предположим, что утверждение выполняется для некоторого четырехзначного числа n. То есть, предположим, что n > (a * b * c * d), где a, b, c и d - цифры числа n.

Рассмотрим следующее четырехзначное число (n + 1). Разложим его на произведение цифр: (a + 1) * (b + 1) * (c + 1) * (d + 1). Раскрыв скобки, получим: (a * b * c * d) + (a * b * c) + (a * b * d) + (a * c * d) + (b * c * d) + (a * b) + (a * c) + (a * d) + (b * c) + (b * d) + (c * d) + (a) + (b) + (c) + (d) + (1)

Заметим, что каждый из этих слагаемых больше или равен соответствующего слагаемого в произведении цифр (a * b * c * d), так как каждое слагаемое содержит по одной цифре числа n, возможно увеличенной на 1.

Таким образом, получаем следующее неравенство: (n + 1) > (a * b * c * d) + (a * b * c) + (a * b * d) + (a * c * d) + (b * c * d) + (a * b) + (a * c) + (a * d) + (b * c) + (b * d) + (c * d) + (a) + (b) + (c) + (d) + (1)

Теперь мы должны показать, что правая часть этого неравенства больше произведения цифр нового числа (n + 1).

Доказательство:

Мы видим, что каждое слагаемое в правой части неравенства больше соответствующего слагаемого в произведении цифр (a * b * c * d). Поэтому сумма всех слагаемых в правой части неравенства также будет больше произведения цифр (a * b * c * d).

Таким образом, мы доказали, что любое четырехзначное число больше произведения его цифр посредством использования метода математической индукции.

Мы можем применить аналогичный подход для любого n-значного числа, где n > 4.