Question

lim(1-cos(pi*x))/(x^2) x->0

Answer 1

1)lim (x->1) cos*((Pi/2)*x)/(1-x) = lim (y->0) cos(pi/2(1-y))/y= lim (y->0)sin((pi/2)y)/y=pi/2
2)lim (x-> PI/2) (1+cosx)^(2sec x) = lim t->~ (1+1/t)^(2t)=e^2
3)1/cosx=t
4)x->п/2 t-> ~ бесконечность

Скорее всего так !!!

Answer 2

Давайте рассмотрим данное выражение поэтапно.

Исходное выражение:

lim((1 - cos(πx))/(x^2 + x)), при x -> 0.

Шаг 1: Упрощение выражения

Для начала, давайте упростим числитель и знаменатель отдельно:

Числитель: 1 - cos(πx).

Знаменатель: x^2 + x.

Шаг 2: Раскрытие числителя

Раскроем числитель, используя формулу тригонометрии cos(2θ) = 1 - 2sin^2(θ):

1 - cos(πx) = 1 - (1 - 2sin^2(πx)/2) = 2sin^2(πx)/2 = sin^2(πx).

Теперь наше выражение принимает вид:

lim((sin^2(πx))/(x^2 + x)), при x -> 0.

Шаг 3: Факторизация знаменателя

Произведем факторизацию знаменателя:

x^2 + x = x(x + 1).

Теперь наше выражение выглядит так:

lim((sin^2(πx))/(x(x + 1))), при x -> 0.

Шаг 4: Применение правила Лопиталя

Для решения данного предела, мы можем использовать правило Лопиталя, которое позволяет находить пределы некоторых функций, если числитель и знаменатель стремятся к нулю или бесконечности:

lim(f(x)/g(x)) = lim(f'(x)/g'(x)), при x -> a,

при условии, что lim(f(x)) = 0 и lim(g(x)) = 0, и предел f'(x)/g'(x) существует или также равен 0.

Применим это правило к нашему выражению:

lim((sin^2(πx))/(x(x + 1))), при x -> 0.

Для этого, мы должны найти производные числителя и знаменателя и взять предел этого отношения.

Шаг 4.1: Нахождение производной числителя

У нас есть функция sin^2(πx). Чтобы найти производную этой функции, мы можем использовать цепное правило (chain rule).

Пусть u = sin(πx), тогда u^2 = (sin(πx))^2 = sin^2(πx).

Производная функции u по x равна:

du/dx = πcos(πx).

Шаг 4.2: Нахождение производной знаменателя

У нас есть функция x(x + 1). Чтобы найти производную