Question

Найдите наименьшее значение функции: у=х^4 - 8x^2 + 1

Answer 1

Y'=4x^3-16x                   4x^3-16x=0    4x·(x^2-4)=0     ⇒    x^2=4   и x=0
⇒x=2   x=- 2   x=0    -критические точких 
х=2  и х= - 2   -точки минимума.
у(-2) =у(2)= 16-32+1=-15  - наименьшее значение функции

Answer 2

Чтобы найти минимальное значение функции \(y = x^4 - 8x^2 + 1\), нужно найти её критические точки, где производная функции равна нулю.

1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\): \[y' = 4x^3 - 16x.\]

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[4x^3 - 16x = 0.\]

Вынесем общий множитель \(4x\) из обоих членов: \[4x(x^2 - 4) = 0.\]

Таким образом, у нас есть два множителя: \(4x = 0\) и \(x^2 - 4 = 0\).

Решая первое уравнение, получаем \(x = 0\).

Решая второе уравнение, получаем \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2\).

Таким образом, у нас три критические точки: \(x = -2, 0, 2\).

3. Теперь найдем вторую производную и используем тест на вторую производную, чтобы определить, является ли критическая точка минимумом, максимумом или седловой точкой.

\[y'' = 12x^2 - 16.\]

Подставим значения \(x = -2, 0, 2\) во вторую производную:

- При \(x = -2\): \(y''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 48 - 16 = 32\) (положительное значение, следовательно, минимум). - При \(x = 0\): \(y''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16\) (отрицательное значение, следовательно, максимум). - При \(x = 2\): \(y''(2) = 12(2)^2 - 16 = 48 - 16 = 32\) (положительное значение, следовательно, минимум).

Таким образом, функция имеет минимумы при \(x = -2\) и \(x = 2\), а также максимум при \(x = 0\). Теперь найдем значения функции в этих точках:

- При \(x = -2\): \(y(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 1 = 16 - 32 + 1 = -15\). - При \(x = 0\): \(y(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + 1 = 1\). - При \(x = 2\): \(y(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 1 = 16 - 32 + 1 = -15\).

Таким образом, наименьшее значение функции \(y\) равно \(-15\) и достигается при \(x = -2\) и \(x = 2\).