Question

Доброго времени суток! Нужна помощь в решении примера с объяснениями, пожалуйста. Lim x->бесконечность ((x+4)/(x+8))^(-3x)

Answer 1

Здесь нужно использовать второй замечательный предел lim n->oo (1+1/n)=e. Распишу подробно, чтобы понятно стало как это делается.
$\lim_{x \to \infty} (\frac{x+4}{x+8} )^{-3x}= \lim_{x \to \infty} (\frac{x+8-4}{x+8} )^{-3x}= \lim_{x \to \infty} (1-\frac{4}{x+8} )^{-3x}= \\ =\lim_{x \to \infty} (1- \frac{1}{\frac{x+8}{4}} )^{-3x} =\lim_{x \to \infty} ((1+( \frac{1}{-\frac{x+8}{4}} )^{-\frac{x+8}{4}})^ \frac{-(-3x*4)}{x+8} = \\ =e^{ \lim_{x \to \infty} \frac{-12x}{x+8}} =e^{-12}$

Answer 2

Для решения данного предела сначала преобразуем выражение в более удобную форму.

Lim(x->бесконечность) ((x+4)/(x+8))^(-3x)

Сначала раскроем скобки в числителе:

Lim(x->бесконечность) (x/(x+8))^(-3x)

Затем приведем дробь к общему знаменателю:

Lim(x->бесконечность) ((x/(x+8))^(-3x) * ((x+8)/1)^(-3x))

Теперь объединим дроби в одну:

Lim(x->бесконечность) ((x/(x+8) * (x+8))^(-3x))

Упростим выражение:

Lim(x->бесконечность) (x/(x+8))^(-3x) * (x+8)^(-3x)

Теперь заметим, что оба множителя стремятся к 1 при стремлении x к бесконечности. Действительно, первый множитель (x/(x+8))^(-3x) стремится к 1, так как числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, их отношение равно 1. Второй множитель (x+8)^(-3x) также стремится к 1, так как основание степени стремится к 1, а показатель степени (−3x) стремится к бесконечности.

Таким образом