Question

Решить неравенство x(x-2)<3

Answer 1

X(x-2)<3
x² - 2x - 3<0
Найдем, при каких х выражение обращается в 0, для этого найдем дискриминант и корни квадратного уравнения
D = 2² +4*3 = 4 + 12 = 16
x1= -1      x2 = 3
_____  _______  _______
   +   -1     -       3      +
Ответ. (-1; 3)

Answer 2

Давайте решим это неравенство поэтапно.

Шаг 1: Раскроем скобки в левой части неравенства: x(x-2) < 3

Раскроем скобку, умножив x на каждый элемент внутри скобки: x^2 - 2x < 3

Шаг 2: Перенесем все элементы в одну сторону, чтобы получить уравнение равное нулю: x^2 - 2x - 3 < 0

Шаг 3: Решим это квадратное уравнение.

Мы хотим найти значения x, при которых выражение x^2 - 2x - 3 меньше нуля.

Шаг 4: Для начала, найдем корни уравнения x^2 - 2x - 3 = 0. Это поможет нам понять, где уравнение меньше нуля.

Для нахождения корней, мы можем использовать формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.

В данном случае, a = 1, b = -2 и c = -3.

Вычислим дискриминант: D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) D = 4 + 12 D = 16

Шаг 5: Теперь, на основе дискриминанта, мы можем понять, сколько корней имеет уравнение.

- Если D > 0, то у уравнения есть два различных вещественных корня. - Если D = 0, то у уравнения есть один вещественный корень с кратностью 2. - Если D < 0, то у уравнения нет вещественных корней.

В нашем случае, D = 16 > 0, поэтому у нас есть два вещественных корня.

Шаг 6: Найдем значения x, при которых x^2 - 2x - 3 < 0.

Воспользуемся графиком или методом интервалов, чтобы определить значения x, при которых выражение меньше нуля.

- Найдем значения x, при которых x^2 - 2x - 3 = 0. Это будут точки, где график пересекает ось x.

Чтобы найти эти значения, мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / (2a)

В нашем случае, a = 1, b = -2 и c = -3.

x = (-(-2) ± √16) / (2 * 1) x = (2 ± 4) / 2

Таким образом, получаем два значения x: x1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3 x2 = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

- Теперь, мы можем проверить значения x внутри интервалов между этими точками.

Нарисуем ось x и отметим значения x1 = 3 и x2 = -1 на графике.

Интервалы между этими точками можно разделить на три части: (-∞, -1), (-1, 3) и (3, +∞).

Выберем по одной точке из каждого интервала и проверим ее значение в исходном неравенстве.

Давайте возьмем x = -2 (любое значение в интервале (-∞, -1)): (-2)(-2-2) < 3 (-2)(-4) < 3 8 < 3

Видим, что неравенство не выполняется для x = -2.

Теперь, давайте возьмем x = 0 (любое значение в интервале (-1, 3)): (0)(0-2) < 3 0 < 3

Неравенство выполняется для x = 0.

Наконец, давайте возьмем x = 4 (любое значение в интервале (3, +∞)): (4)(4-2) < 3 8 < 3

Видим, что неравенство не выполняется для x = 4.

Шаг 7: Вывод.

Мы нашли значения x, при которых неравенство x(x-2) < 3 выполняется: x ∈ (-1, 3).

Таким образом, решением неравенства является интервал (-1, 3).