Question

Доказать с помощью метода математической индукции1*2+2*5+...+n(3n-1)=n^2(n+1)

Answer 1

Решение дано в виде фотографии :)

Answer 2

Для доказательства равенства \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + \ldots + n(3n - 1) = n^2(n + 1)\) с помощью метода математической индукции, давайте выполним следующие шаги.

1. База индукции: Докажем, что утверждение верно для \(n = 1\).

При \(n = 1\): Левая часть: \(1(3 \cdot 1 - 1) = 2\). Правая часть: \(1^2(1 + 1) = 2\).

Оба выражения равны 2, поэтому база индукции выполняется.

2. Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого положительного целого числа \(k\). То есть, предположим, что: \[1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + \ldots + k(3k - 1) = k^2(k + 1).\]

3. Доказательство для \(n = k + 1\): Теперь докажем, что утверждение также верно для \(n = k + 1\). Рассмотрим левую часть для \(n = k + 1\): \[1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + \ldots + (k + 1)(3(k + 1) - 1).\]

Мы можем разбить это выражение на две части: первая часть соответствует сумме для \(n = k\), а вторая часть соответствует \(k + 1\)-му слагаемому: \[k^2(k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) - 1).\]

Теперь проведем алгебраические преобразования: \[\begin{split}&= k^2(k + 1) + (k + 1)(3k + 3 - 1)\\ &= k^2(k + 1) + (k + 1)(3k + 2)\\ &= k^2(k + 1) + 3k(k + 1) + 2(k + 1)\\ &= (k + 1)[k^2 + 3k + 2] \\ &= (k + 1)(k + 1)(k + 2) \\ &= (k + 1)^2(k + 2).\end{split}\]

Таким образом, мы получили, что левая часть для \(n = k + 1\) равна \((k + 1)^2(k + 2)\).

4. Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех положительных целых чисел \(n\).

Таким образом, мы доказали, что \[1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + \ldots + n(3n - 1) = n^2(n + 1)\] для всех положительных целых чисел \(n\) с использованием метода математической индукции.