Question

Вычислить пределы1) lim ×⇒₁/₂ 8x³-1/6x²-5x+12) lim ×⇒₀ √x²+1-1 / √x²+16-4

Answer 1

Первый решается легко прямой подстановкой х=1/2.
Второй решается за правилом Лопиталя.

Answer 2

Давайте вычислим пределы, начнем с первого:

1) \( \lim_{{x \to \frac{1}{2}}} (8x^3 - \frac{1}{6}x^2 - 5x + 12) \)

Для вычисления этого предела, вы можете применить прямую подстановку \( x = \frac{1}{2} \) в выражение. Подставим:

\[ = 8 \left(\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{1}{6}\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5\left(\frac{1}{2}\right) + 12 \]

Выполним вычисления:

\[ = 8 \cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 12 \]

\[ = 1 - \frac{1}{24} - \frac{5}{2} + 12 \]

\[ = -\frac{11}{24} \]

Таким образом, предел первого выражения равен \(-\frac{11}{24}\).

Теперь перейдем ко второму пределу:

2) \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{\sqrt{x^2 + 16} - 4} \)

Чтобы решить этот предел, умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения, чтобы избавиться от корней в дроби.

Умножим на \(\sqrt{x^2 + 1} + 1\) в числителе и \(\sqrt{x^2 + 16} + 4\) в знаменателе:

\[ = \lim_{{x \to 0}} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{\sqrt{x^2 + 16} - 4} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1} + 1}{\sqrt{x^2 + 1} + 1} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 16} + 4}{\sqrt{x^2 + 16} + 4} \]

Раскроем числитель и знаменатель:

\[ = \lim_{{x \to 0}} \frac{(x^2 + 1) - 1}{(x^2 + 16) - 16} \]

\[ = \lim_{{x \to 0}} \frac{x^2}{x^2} \]

\[ = \lim_{{x \to 0}} 1 \]

Таким образом, второй предел равен 1.

Итак, ответ:

1) \( \lim_{{x \to \frac{1}{2}}} (8x^3 - \frac{1}{6}x^2 - 5x + 12) = -\frac{11}{24} \)

2) \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{\sqrt{x^2 + 16} - 4} = 1 \)