Question

Докажите, что при умножении прозведения двух целых чисел на разность ихквадратов, всегда получается число, кратное 3

Answer 1

A*b(a^2-b^2)=a^*b-a*b^3  .пусть a=1 а b=2  тогда  a^*b-a*b^3 =-6  число-6 делится на 3    -6.3=-2

Answer 2

Давайте рассмотрим два произвольных целых числа, представим их как \( a \) и \( b \). Тогда произведение этих чисел будет \( ab \), а разность их квадратов будет \( a^2 - b^2 \).

Мы хотим доказать, что при умножении \( ab \) на \( a^2 - b^2 \) результат всегда будет числом, кратным 3.

Давайте выразим \( a^2 - b^2 \) как разность квадратов:

\[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]

Теперь мы можем переписать произведение \( ab \cdot (a^2 - b^2) \) следующим образом:

\[ ab \cdot (a^2 - b^2) = ab \cdot (a + b)(a - b) \]

Теперь мы видим, что у нас есть произведение трех множителей: \( ab \), \( a + b \) и \( a - b \). Из свойств деления и умножения на 3 можно вывести, что если одно из этих чисел делится на 3, то и весь результат будет делиться на 3.

Теперь рассмотрим три случая:

1. Если \( a \) делится на 3, то \( ab \) также делится на 3. 2. Если \( b \) делится на 3, то \( ab \) также делится на 3. 3. Если и \( a \), и \( b \) не делятся на 3, то сумма \( a + b \) делится на 3.

Таким образом, в каждом из случаев хотя бы один из множителей \( ab \cdot (a + b)(a - b) \) делится на 3, что доказывает, что результат всегда будет числом, кратным 3.