Question

Мне нужно вычислить интеграл функции (t-1)*sin(wt), пределы: от -пи до 0. интегрировать по dt

Answer 1

$\int\limits^0_{-\pi} {(t-1)sin(wt)} \, dt=\int\limits^0_{-\pi} {tsin(wt)} \, dt - \int\limits^0_{-\pi} {sin(wt)} \, dt\\\\ \int\limits^0_{-\pi} {tsin(wt)} \, dt \\ dv=sin(wt) \ \ v=\frac{-cos (wt)}{w}\\ u=t \ \ du=dt\\\\ \int\limits^0_{-\pi} {tsin(wt)} \, dt= -cos(wt)|^{0}_{-\pi}+\frac{1}{w}\cdot \int\limits^0_{-\pi} {cos(wt)} \, dt=-cos(0)+cos(-\pi)+\frac{sin(w*0)}{w}-\frac{sin(-\pi*w)}{w}=-0-1+\frac{1}{w}+\frac{sin(\pi*w)}{w}\\\\ - \int\limits^0_{-\pi} {sin(wt)} \, dt = cos(wt)|_(-\pi)^{0}=0+1=1 \int\limits^0_{-\pi} {(t-1)sin(wt)} \, dt=-1+\frac{1}{w}+\frac{sin(\pi*w)}{w}+1=\frac{1}{w}+\frac{sin(\pi*w)}{w}$

Answer 2

Для вычисления интеграла функции `(t-1)*sin(wt)` на интервале от `-π` до `0` по переменной `dt`, мы можем использовать метод интегрирования по частям или метод замены переменной. Давайте воспользуемся методом интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям:

Для интегрирования по частям, мы используем формулу: ``` ∫ u dv = uv - ∫ v du ``` где `u` и `v` - это функции, а `du` и `dv` - их дифференциалы.

Шаг 1: Выбор `u` и `dv`:

В данном случае, выберем `u = (t-1)` и `dv = sin(wt) dt`.

Шаг 2: Вычисление `du` и `v`:

Вычислим дифференциал `du` и функцию `v`: ``` du = d(t-1) = dt v = ∫ sin(wt) dt ```

Шаг 3: Вычисление `∫ u dv`:

Теперь, вычислим интеграл `∫ u dv`: ``` ∫ (t-1) sin(wt) dt = (t-1) * (-cos(wt)/w) - ∫ (-cos(wt)/w) dt ```

Шаг 4: Вычисление окончательного результата:

Продолжим вычисления: ``` ∫ (t-1) sin(wt) dt = (t-1) * (-cos(wt)/w) + ∫ cos(wt)/w dt ``` ``` = (t-1) * (-cos(wt)/w) + (sin(wt)/w^2) + C ``` где `C` - это постоянная интегрирования.

Ответ:

Таким образом, интеграл функции `(t-1)*sin(wt)` на интервале от `-π` до `0` по переменной `dt` равен: ``` ∫ (t-1) sin(wt) dt = (t-1) * (-cos(wt)/w) + (sin(wt)/w^2) + C ``` где `C` - это постоянная интегрирования.

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном ответе использован метод интегрирования по частям.