Question

Помогите решить плиз, вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: y=x^2-6x+9, y=3x-9.

Answer 1

$\int\limits^6_3{(3x-9-x^2+6x -9)}dx = \int\limits^6_3{(-x^2+9x -18)}dx = \\ = -\frac{x^3}{3} + \frac{9x^2}{2} - 18x |_3^6 = -\frac{216}{3}+\frac{324}{2} - 108 + 9 -\frac{81}{2} + 54 = \\ = -72 + 162-108 + 9-40.5 + 54 = 4.5$

Answer 2

у=х^2-6х+9

у=3х-9

 

S=интеграл (3х-9-х^2+6х-9)dx = интеграл (-х^2+9х-18)dx = -х^3/3+9х^2/2-18х |(3;6) = -216/3+324/2-108+9-81/2+48 = -72+162-108+9-40,5+48 = -1.5

 

честно, не знаю, почему выходит отрицательное число. вроде бы все верно...

скорее всего, вычислительная ошибка. найти не могу

Answer 3

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя заданными линиями, нам необходимо найти точки их пересечения. Затем мы можем вычислить интеграл площади между этими точками.

Первым шагом является нахождение точек пересечения линий. Для этого приравняем уравнения двух линий:

y = x^2 - 6x + 9 y = 3x - 9

Приравняем правые части уравнений и решим получившееся квадратное уравнение:

x^2 - 6x + 9 = 3x - 9

x^2 - 9x + 18 = 0

Далее, решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы определить, имеется ли уравнение действительные корни. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:

D = b^2 - 4ac

где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. В нашем случае:

a = 1 b = -9 c = 18

Вычислим дискриминант:

D = (-9)^2 - 4 * 1 * 18 D = 81 - 72 D = 9

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. Теперь найдем значения x, подставив D в формулу:

x1 = (-b + √D) / (2a) x1 = (-(-9) + √9) / (2*1) x1 = (9 + 3) / 2 x1 = 12 / 2 x1 = 6

x2 = (-b - √D) / (2a) x2 = (-(-9) - √9) / (2*1) x2 = (9 - 3) / 2 x2 = 6 / 2 x2 = 3

Теперь, когда у нас есть значения x, мы можем вычислить соответствующие значения y, подставив их в одно из исходных уравнений. Воспользуемся первым уравнением:

y = x^2 - 6x + 9

Для x = 3: y = 3^2 - 6*3 + 9 y = 9 - 18 + 9 y = 0

Для x = 6: y = 6^2 - 6*6 + 9 y = 36 - 36 + 9 y = 9

Таким образом, точки пересечения линий - это (3, 0) и (6, 9). Теперь мы можем вычислить площадь фигуры между этими двумя точками.

Интеграл площади между двумя функциями f(x) и g(x) на интервале [a, b] вычисляется следующим образом:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

В нашем случае, функция f(x) = x^2 - 6x + 9, а функция g(x) = 3x - 9. Значение a = 3, а значение b = 6.

Теперь вычислим интеграл площади:

S = ∫[3, 6] ((x^2 - 6x + 9) - (3x - 9)) dx S = ∫[3, 6] (x^2 - 6x + 9 - 3x + 9) dx S = ∫[3, 6] (x^2 - 9x + 18) dx

Интегрирование этой функции может быть выполнено путем применения правил интегрирования. Чтобы упростить вычисления, произведем раскрытие скобок:

S = ∫[3, 6] (x^2 - 9x + 18) dx S = ∫[3, 6] x^2 dx - ∫[3, 6] 9x dx + ∫[3, 6] 18 dx

Интегрируя каждое слагаемое по отдельности, получим:

S = (1/3)x^3 - (9/2)x^2 + 18x + C

Теперь мы можем вычислить значение площади S, подставив значения a = 3 и b = 6:

S = (1/3)*6^3 - (9/2)*6^2 + 18*6 + C - [(1/3)*3^3 - (9/2)*3^2 + 18*3 + C] S = (1/3)*216 - (9/2)*36 + 108 + C - (1/3)*27 - (9/2)*9 + 54 + C S = 72 - 162 + 108 + C - 9 - 81 + 54 + C S = -18 + 81 + 162 S = 225

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y = x^2 - 6x + 9 и y = 3x - 9, равна 225 квадратным единицам.