Question

На плоскости из одной точки отложено 21 лучей. Какое наибольшее количество тупых углов могут образовывать пары этих лучей? Сделайте пж,дам 20 баллов

Answer 1

Для начала вспомним, что тупой угол - это угол с градусной мерой больше 90° и меньше 180°. Из одной точки можно пустить три луча, которые между собой образуют 3 тупых угла.
Пустим 4-й луч вблизи одного из трёх лучей, у нас добавится дополнительно 2 тупых угла. 5-й луч пустим вблизи второго из числа первых трёх, дополнительно образуются 3 тупых угла. Наконец, пускаем 6-й луч вблизи третьего, получив дополнительно 4 тупых угла. У нас будет получаться как бы три пучка близко расположенных лучей в каждом пучке.
Считаем сколько получилось тупых углов после добаления к первым трём лучам ещё трёх лучей. 3 луча было, плюс 2, плюс 3 и плюс 4, всего 12 лучей.
Итак, для 3-х лучей - 3 тупых угла; для 6 лучей - 12 тупых углов.
Рассуждаем аналогично, добавляя по очереди ещё 3 луча. Добавятся сначало 4 угла, затем 5 и, наконец, 6; т.е. всего добавится 15 тупых углов. А всего для 9 лучей будет 27 тупых углов.
Точно также, считая для 12 лучей, получим дополнительно 6+7+8 = 21 тупых угла, а всего - 48.
Можно было бы и далее продолжать таким способом, но мы замечаем закономерность.
Пусть а1 = 3 - это первый член последовательности. Используя предыдущее значение (рекуррентно), можно вычислить следующее значение по формуле:
$a_n = a_{n-1} +2n -3$, где n - число лучей кратное 3.
Пробуем вычислить по этой формуле:
 
$a_{9} = 12 + 2*9 - 3 =27 \\ \\ a_{12} = 27 + 2*12 - 3 =48 \\ \\ a_{15} = 48 + 2*15 - 3 =75 \\ \\ a_{18} = 75 + 2*18 - 3 =108 \\ \\ a_{21} = 108 + 2*21 - 3 =147$

Ответ: 147 тупых угла

Answer 2

Для понимания, сколько тупых углов могут образовывать пары этих лучей, давайте рассмотрим, как можно расположить лучи относительно начальной точки так, чтобы образовывать тупые углы.

Предположим, что начальная точка находится в центре плоскости. Теперь мы можем провести лучи так, чтобы они образовывали тупые углы. Для этого лучи должны быть направлены в разные квадранты.

Давайте начнем с первого квадранта. Проведем 5 лучей в направлении от 0 до 180 градусов (0, 36, 72, 108, 144). Теперь перейдем ко второму квадранту и проведем 5 лучей в направлении от 180 до 360 градусов (180, 216, 252, 288, 324). Таким образом, у нас уже есть 10 лучей, и все они образуют тупые углы с осью абсцисс.

Теперь давайте проведем еще 5 лучей в каждом квадранте, направленных ближе к оси абсцисс, чтобы они образовывали тупые углы между собой. Например, в первом квадранте это могут быть лучи под углами 18, 54, 90, 126, 162, а во втором квадранте — 198, 234, 270, 306, 342. Таким образом, у нас теперь есть 20 лучей, и все они образуют тупые углы с осью абсцисс.

Теперь добавим последний луч в каждый квадрант, направленный против часовой стрелки, чтобы создать тупой угол с предыдущим лучом. Например, в первом квадранте это может быть луч под углом 9, а во втором квадранте — 189. Таким образом, у нас будет 21 луч, и все они будут образовывать тупые углы между собой.

Таким образом, наибольшее количество тупых углов, которые могут образовывать пары этих 21 лучей, равно 20.