Question

Докажите, что: а) 99×99!+99!=100! б) 1000!-999!=999×999!

Answer 1

А) 99×99!+99! = 99! * (99 + 1) = 99! * 100 = 100!
б) 1000! - 999! = 999! * (1000 - 1) = 999! * 999

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое утверждение по очереди:

a) \(99 \times 99! + 99! = 100!\)

Для начала, давайте выразим \(100!\) в более подходящей форме:

\[100! = 100 \times 99 \times 98 \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1\]

Теперь рассмотрим выражение \(99 \times 99! + 99!\):

\[99 \times 99! + 99! = 99! \times (99 + 1) + 99! = 99! \times 100\]

Таким образом, \(99 \times 99! + 99! = 100 \times 99!\), что совпадает с \(100!\). Таким образом, утверждение (a) верно.

b) \(1000! - 999! = 999 \times 999!\)

Аналогично, выразим \(1000!\) в более подходящей форме:

\[1000! = 1000 \times 999 \times 998 \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1\]

Теперь рассмотрим выражение \(1000! - 999!\):

\[1000! - 999! = 999! \times (1000 - 1) = 999! \times 999\]

Таким образом, \(1000! - 999! = 999 \times 999!\). Утверждение (b) верно.

Таким образом, оба утверждения верны, и мы доказали, что \(99 \times 99! + 99! = 100!\) и \(1000! - 999! = 999 \times 999!\).