Question

предел при х стремящемся к нулю ((e^-2x)-1)/(arcsinx)

Answer 1

lim  x--->0  e^(-2x)-1/arcsinx=0/0  значит неопределнность 

 lim  x--->0 e^(-2x)-1/ (1/V1-x^2)=-2e^-2x/1=-2*1/1=-2   предел  равен  -2 

 

 

 

 

 

 По лопиталю там!

 

Answer 2

Для нахождения предела функции при x стремящемся к нулю:

((e^-2x) - 1) / (arcsin x)

можно использовать методы анализа функций и правила вычисления пределов. Давайте разберемся подробнее.

Предел функции e^x при x стремящемся к нулю

Первым шагом рассмотрим предел функции e^x при x стремящемся к нулю. Это можно выразить следующим образом:

lim(x->0) e^x

Значение этого предела равно 1. Это можно увидеть, раскладывая функцию в ряд Тейлора в окрестности нуля.

Предел функции arcsin x при x стремящемся к нулю

Вторым шагом рассмотрим предел функции arcsin x при x стремящемся к нулю. Это можно выразить следующим образом:

lim(x->0) arcsin x

Значение этого предела также равно 0. Вы можете использовать разложение этой функции в ряд Тейлора, чтобы увидеть это.

Нахождение предела заданной функции

Теперь, когда мы знаем значения пределов функций e^x и arcsin x при x стремящемся к нулю, мы можем применить правило Лопиталя для нахождения предела исходной функции:

lim(x->0) ((e^-2x) - 1) / (arcsin x)

Применим правило Лопиталя, которое говорит, что если предел функции f(x) / g(x) при x стремящемся к некоторому значению a равен неопределенности вида 0/0 или бесконечность/бесконечность, то предел отношения производных f'(x) / g'(x) при x стремящемся к a будет равен тому же значению.

В нашем случае, правило Лопиталя применяется дважды. Вычислим производные:

f(x) = (e^-2x) - 1 g(x) = arcsin x

f'(x) = -2e^-2x g'(x) = 1/sqrt(1 - x^2)

Теперь мы можем взять предел отношения производных:

lim(x->0) (f'(x) / g'(x))

Подставим значения производных:

lim(x->0) (-2e^-2x / (1/sqrt(1 - x^2)))

Теперь найдем предел этого выражения при x стремящемся к нулю:

lim(x->0) (-2e^-2x * sqrt(1 - x^2))

Подставив x = 0, мы получаем:

-2 * e^0 * sqrt(1 - 0^2) = -2 * 1 * 1 = -2

Таким образом, предел функции ((e^-2x) - 1) / (arcsin x) при x стремящемся к нулю равен -2.