Question

В квадрате со стороной 5 произвольным образом отметили 201 точку. Верно ли,что какие-то 5 точек можно накрыть квадратом со стороной 1?

Answer 1

Площадь большого квадрата S1 = a^2 = 5^2 = 25
Площадь маленького квадрата S2 = 1^2 = 1
Докажем от обратного. Посчитаем, сколько максимально можно отметить точек, чтобы нарушалось заданное утверждение. Требуется отметить точки таким образом, чтобы на каждой единице равной площади маленького квадрата было не было более 4 точек.
Составим уравнение:
X=S1/S2*(5-1)=25/1*4=25*4=100, где:
X = максимальное количество точек, которое можно отметить нарушая заданное утверждение.
Следовательно, если отметить в квадрате более 100 точек, то утверждение будет верно.
В нашем случае точек 201, следовательно утверждение верно.

Answer 2

В данной задаче имеется квадрат со стороной 5 и 201 точка внутри него. Наша задача - определить, можно ли накрыть какие-то 5 из этих точек квадратом со стороной 1.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле. Принцип Дирихле утверждает, что если на N+1 объекте имеется N различных "контейнеров" (в нашем случае точек) и эти объекты распределены между контейнерами, то как минимум один контейнер содержит более одного объекта.

Применим этот принцип к нашей задаче. У нас имеется 201 точка и 25 квадратов со стороной 1 (поскольку 5*5=25). Если мы распределим эти 201 точку по 25 квадратам, то как минимум один квадрат должен содержать более одной точки.

Таким образом, верно, что какие-то 5 точек можно накрыть квадратом со стороной 1.