Question

Выразите Х из матричного уравнения A·B·X·C = D

Answer 1

$ABXC=D\\BXC=A^{-1}D\\XC=B^{-1}A^{-1}D\\X=B^{-1}A^{-1}DC^{-1}$

Answer 2

Давайте рассмотрим матричное уравнение вида \(A \cdot B \cdot X \cdot C = D\), где \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(X\) - матрицы.

Чтобы выразить \(X\), давайте последовательно преобразим уравнение. Для начала, умножим обе стороны на обратные матрицы:

\[ (A \cdot B \cdot X \cdot C) \cdot (C^{-1} \cdot B^{-1} \cdot A^{-1}) = D \cdot (C^{-1} \cdot B^{-1} \cdot A^{-1}) \]

Теперь у нас получится \(X\) умноженное на некоторую матрицу, равную правой стороне уравнения. Таким образом, чтобы избавиться от матрицы, умножим обе стороны справа на обратную матрицу этой матрицы:

\[ X \cdot (C^{-1} \cdot B^{-1} \cdot A^{-1}) = D \cdot (C^{-1} \cdot B^{-1} \cdot A^{-1}) \cdot (A \cdot B \cdot X \cdot C)^{-1} \]

Теперь мы можем записать \(X\) в виде:

\[ X = D \cdot (C^{-1} \cdot B^{-1} \cdot A^{-1}) \cdot (A \cdot B \cdot X \cdot C)^{-1} \]

Обратите внимание, что для успешного выполнения этих операций нужно удостовериться, что обратные матрицы существуют, и выполнены необходимые условия для перемножения матриц.