Question

Log^2 x (по основанию 2) - | log x по основанию 2| - 6<0

Answer 1

Log(2)x>0 , x>1
log(2)x<0  , 0<x<1
ОДЗ: x>1
log(2)x=a   Замена
a^2-a-6<0
a=3
a= -2
 Промежуток (-2;3)
Вернемся к замене:
log(2)x=3    и   log(2)x= -2
x=8                   x=1/4=0,25
 Промежуток   (0,25 ; 8)
Собираем все промежутки:
1)  (0,25 ; 8)
2) (1 ; + ~)
3) (0 ; 1)
В результате получаем промежуток (0,25 ;1) U (1;8)

Answer 2

Данное уравнение содержит два логарифма с основанием 2 и абсолютное значение. Давайте рассмотрим его по частям, чтобы получить подробное решение.

Разделяем на два случая:

Случай 1: log x по основанию 2 положительно

Если log x по основанию 2 положительно, то у нас есть следующее уравнение:

log^2 x по основанию 2 - log x по основанию 2 - 6 < 0

Мы можем заметить, что log^2 x по основанию 2 можно записать как (log x по основанию 2)^2.

Таким образом, мы можем переписать уравнение следующим образом:

(log x по основанию 2)^2 - log x по основанию 2 - 6 < 0

Теперь давайте проведем замену. Пусть u = log x по основанию 2. Тогда наше уравнение примет вид:

u^2 - u - 6 < 0

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью факторизации или квадратного корня. Факторизуя его, получим:

(u - 3)(u + 2) < 0

Теперь мы можем рассмотреть каждую из скобок по отдельности:

(u - 3) < 0 и (u + 2) > 0

Решая эти два неравенства, получим:

u < 3 и u > -2

Так как u = log x по основанию 2, мы можем переписать это в виде:

log x по основанию 2 < 3 и log x по основанию 2 > -2

Случай 2: log x по основанию 2 отрицательно

Если log x по основанию 2 отрицательно, то у нас есть следующее уравнение:

log^2 x по основанию 2 + log x по основанию 2 - 6 < 0

Мы можем заметить, что log^2 x по основанию 2 можно записать как (log x по основанию 2)^2.

Таким образом, мы можем переписать уравнение следующим образом:

(log x по основанию 2)^2 + log x по основанию 2 - 6 < 0

Теперь давайте проведем замену. Пусть v = log x по основанию 2. Тогда наше уравнение примет вид:

v^2 + v - 6 < 0

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью факторизации или квадратного корня. Факторизуя его, получим:

(v - 2)(v + 3) < 0

Теперь мы можем рассмотреть каждую из скобок по отдельности:

(v - 2) < 0 и (v + 3) > 0

Решая эти два неравенства, получим:

v < 2 и v > -3

Так как v = log x по основанию 2, мы можем переписать это в виде:

log x по основанию 2 < 2 и log x по основанию 2 > -3

Общее решение

Собирая все вместе, у нас есть два случая:

1. log x по основанию 2 положительно: -2 < log x по основанию 2 < 3

2. log x по основанию 2 отрицательно: -3 < log x по основанию 2 < 2

Таким образом, общее решение данного уравнения выглядит следующим образом:

Для случая, когда log x по основанию 2 положительно: x принадлежит промежутку (2^(-3), 2^3), исключая значения, для которых log x по основанию 2 отрицательно.

Для случая, когда log x по основанию 2 отрицательно: x принадлежит промежутку (2^(-2), 2^2), исключая значения, для которых log x по основанию 2 положительно.

Обратите внимание, что я использовал свойства логарифмов и решал неравенства, чтобы получить это решение.